Réduction des endomorphismes/Exercices/Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius

Exercice 3-1

Montrer qu'un endomorphisme de rang 1 est nilpotent ou diagonalisable.

Solution

Soit $u$ un endomorphisme de rang $1$ (d'un espace vectoriel de dimension non nécessairement finie).

Son image est une droite $D$, engendrée par un vecteur $x$, et son noyau est un hyperplan $H$.

Si $x\in H$ alors $u^{2}=0$. Si $x\notin H$ alors $u$ a deux sous-espaces propres supplémentaires : $H$ et $D$.

 

Exercice 3-2

Soient $P,Q\in K[X]$ tels que $P\mid Q-1$ et $A\in \operatorname {M} _{n}(K)$ telle que $(PQ)(A)=0$. Démontrer que

$\dim \ker {P(A)}=\operatorname {tr} {Q(A)}$.

Solution

$PQ$ annule $A$ et divise $Q^{2}-Q$ donc $Q(A)$ est une matrice de projecteur dont l'image est incluse dans le noyau de $P(A)$.

Réciproquement, $\ker P(A)\subset \ker \left(Q(A)-\mathrm {I} _{n}\right)\subset \operatorname {im} Q(A)$.

Par conséquent, $\dim \ker {P(A)}=\dim \operatorname {im} {Q(A)}=\operatorname {tr} {Q(A)}$.

 

Exercice 3-3

Soit $N\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que $N=0$.

Solution

$NN^{t}$ est symétrique réelle donc diagonalisable. Or elle est nilpotente car $(NN^{t})^{n}=N^{n}(N^{n})^{t}$.

Par conséquent, elle est nulle donc $0=\operatorname {tr} \left(NN^{t}\right)=\sum _{1\leq i,j\leq n}N_{i,j}^{2}$, autrement dit : $N=0$.

 

Exercice 3-4

Montrer que deux matrices réelles semblables dans $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ le sont également dans $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$.

Solution

Voir Décomposition de Frobenius.

 

Exercice 3-5

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$. Montrer que $A$ et $A^{t}$ sont semblables et que $AA^{t}$ et $A^{t}A$ sont semblables.

Solution

Dans les deux cas, d'après l'exercice précédent, il suffit de démontrer l'énoncé analogue pour les matrices complexes. On peut alors se ramener au cas où $A$ est un bloc de Jordan et conclure par le calcul.

 

Exercice 3-6

Soit

$A={\begin{pmatrix}322&-323&-323&322\\325&-326&-325&326\\-259&261&261&-260\\-237&237&238&-237\end{pmatrix}}$.

Déterminer sa forme de Jordan et une matrice de passage.

Solution

5 est valeur propre et le premier vecteur — que nous noterons $v$ — de la base de définition de la matrice possède pour polynôme conducteur $(X-5)^{4}$. La famille suivante forme donc une base de Jordan :

$((A-5I)^{3}v,(A-5I)^{2}v,(A-5I)v,v)=\left({\begin{pmatrix}5922\\4230\\-3572\\-5170\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2857\\2363\\-1962\\-2392\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}317\\325\\-259\\-237\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\right)$.

Nous avons ainsi choisi une matrice de passage :

$P={\begin{pmatrix}5922&2857&317&1\\4230&2363&325&0\\-3572&-1962&-259&0\\-5170&-2392&-237&0\\\end{pmatrix}}$

et la matrice de Jordan est :

$J=J_{4}(5)={\begin{pmatrix}5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}$.

 

Exercice 3-7

Pour la matrice

$B:={\begin{pmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\\\end{pmatrix}}$,

déterminer une forme de Jordan et une matrice de passage.

Solution

Les valeurs propres de $B$ sont 4, 4, 2 et 1. De plus, on remarque que :

$\dim \ker {(B-I)}=1,~\dim \ker {(B-2I)}=1,~\dim \ker {(B-4I)}=1,~\dim \ker({B-4I})^{2}=2.$

Nous en déduisons que la matrice de Jordan sera (à permutation près des trois blocs) de la forme :

$J={\begin{pmatrix}J_{2}(4)&&\\&J_{1}(2)&\\&&J_{1}(1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$.

Nous remarquons que le vecteur ${\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}$ a pour image par la matrice $B-4I$ : ${\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}$. Ces deux vecteurs colonnes engendrent l'espace caractéristique de valeur propre 4.

On en déduit

$\ker {(B-4I)}^{2}=\operatorname {Vect} \ \left({\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}\right).$

Nous en déduisons une matrice de passage $P$ telle que $P^{-1}BP=J$ :

$P=\left((B-4I)\mathbf {v} \left|\mathbf {v} \left|\mathbf {w} \left|\mathbf {x} \right)\right.\right.\right.={\begin{pmatrix}-1&0&1&-1\\0&0&-1&1\\1&-1&0&0\\-1&1&1&0\end{pmatrix}}.$