Réduction des endomorphismes/Exercices/Exponentielle d'une matrice

Exercice 4-1

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ antisymétrique. Que dire de $\exp \left(A\right)$ ?

Solution

$\exp \left(A\right)$ est une matrice de rotation. En effet :

• $\left(\exp A\right)^{t}=\exp \left(A^{t}\right)=\exp \left(-A\right)=\left(\exp A\right)^{-1}$ ;
• $\det \left(\exp A\right)=\exp \left(\operatorname {tr} A\right)=\exp(0)=1$.

 

Exercice 4-2

Soit $K$ un corps algébriquement clos. Montrer que :

a)  Si $K$ est de caractéristique $p>0$, il n'existe pas de matrice $A\in \operatorname {M} _{2}(K)$ telle que $A^{p}={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$.

b)  Pour tous entiers $n,k>0$, si $K$ est de caractéristique nulle ou strictement supérieure à $\max \left(n-1,k\right)$ alors, pour toute matrice $B\in \operatorname {M} _{n}(K)$, il existe $A\in \operatorname {M} _{n}(K)$ telle que $A^{k}=B$.

Solution

Inspiré de « All and the only algebraically closed fields s.t. any regular n-by-n matrix has a k-th root for every k », sur MathOverflow.

a)  Dans $\operatorname {M} _{2}(K)$, toute matrice $A$ est trigonalisable donc $A^{p}$ est — contrairement à ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ — diagonalisable même si $A$ ne l'est pas, car ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}^{p}={\begin{pmatrix}a^{p}&0\\0&a^{p}\end{pmatrix}}$.

b)  Sans perte de généralité, on peut supposer que $B$ n'a qu'une valeur propre et qu'elle est égale à $1$ donc $B=I_{n}-N$ avec $N^{n}=0$. Posons $C:=-N-{\frac {N^{2}}{2}}-{\frac {N^{3}}{3}}-\dots -{\frac {N^{n-1}}{n-1}}$ (c'est le développement en série formelle de $\ln(1-x)$, appliqué à $N$), puis $A:=\sum _{0\leq j<n}{\frac {C^{j}}{k^{j}j!}}$ (c'est le développement en série formelle de $\exp$ appliqué à ${\frac {C}{k}}$). Alors, $A^{k}=\sum _{0\leq j<n}{\frac {C^{j}}{j!}}=I_{n}-N=B$.