Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

Exercice 1

Soit A un anneau tel que $\forall x\in A,x^{2}=x$.

1. Montrer que $\forall x\in A,x+x=0$.
2. En déduire que A est commutatif.

Solution

1. Soit $x\in A$.

${\begin{aligned}1+x&=(1+x)^{2}\\&=1+x+x+x^{2}\\&=(1+x)+x+x\end{aligned}}$

Donc $\forall x\in A,~x+x=0$

2. Soit $(x,y)\in A^{2}$

${\begin{aligned}x+y&=(x+y)^{2}\\&=x^{2}+xy+yx+y^{2}\\&=x+y+xy+yx\end{aligned}}$

Donc $xy=-yx$. Or, d’après la question 1, $\forall t\in A,t=-t$

Donc $\forall (x,y)\in A^{2},~xy=yx$, donc A est commutatif.

 

Exercice 2

Soient $A$ un anneau et $A^{\times }$ l'ensemble de ses éléments inversibles. Montrer que $\forall (x,y)\in A^{2}\quad 1-xy\in A^{\times }\Longleftrightarrow 1-yx\in A^{\times }$.

Solution

Soient $x,y\in A$ tels que $1-yx$ soit inversible, et soit $z$ son inverse. On a donc :

$zxy=xyz=z-1$,

ce qui, en multipliant à gauche par $y$ et à droite par $x$, implique :

$(yzx)(yx)=(yx)(yzx)=yzx-yx$

ou encore, en posant $t=yzx+1$ :

$tyx=yxt=t-1$.

On a ainsi prouvé l'implication (pour tous $x,y\in A$) :

$1-xy\in A^{\times }\Longrightarrow 1-yx\in A^{\times }$.

Comme elle équivaut à sa réciproque, on en déduit l'équivalence.

 

Exercice 3

Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.

1. Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
2. Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
3. En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
4. En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.

Solution

1. Soit (P) un idéal principal contenant a et X. Le polynôme P est constant (car P divise a) et de coefficient inversible (car P divise X) donc P est un élément inversible de A, si bien que (P) = (1) = A[X].
2. Si (X, a) est égal à A[X], il existe deux polynômes U et V tels que 1 = XU + aV donc 1 = aV(0).
3. Si l'idéal (X, a) est principal alors, d'après les deux questions précédentes, a est inversible.
4. Si A n'est pas un corps, il contient un élément a non nul et non inversible.

 

Exercice 4

Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ d'éléments et pour tout élément non nul $k$ :

• $\operatorname {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ existe si et seulement si $\operatorname {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ existe ;
• dans ce cas, $\operatorname {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)=k\operatorname {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$.

Solution

(Toutes les égalités sont à prendre ici au sens « à produit près par un inversible ».)

• Supposons que $\operatorname {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)=m$ et montrons que $km$ est un ppcm des $ka_{i}$, c'est-à-dire qu'un élément est multiple de tous les $ka_{i}$ si et seulement s'il est multiple de $km$.
  S'il est multiple d'un $ka_{i}$ ou de $km$, il est divisible par $k$, donc de la forme $ky$ pour un certain $y$. On conclut grâce à la suite d'équivalences :

  $ky$ est multiple de tous les $ka_{i}\Leftrightarrow$

  $y$ est multiple de tous les $a_{i}\Leftrightarrow$

  $y$ est multiple de $m\Leftrightarrow$

  $ky$ est multiple de $km$.

• Réciproquement, supposons que $\operatorname {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ existe.
  Puisqu'il est multiple d'un $ka_{i}$, il est divisible par $k$, donc de la forme $km$ pour un certain $m$. Alors, pour tout élément $y$ de l'anneau, on a :

  $y$ est multiple de tous les $a_{i}\Leftrightarrow$

  $ky$ est multiple de tous les $ka_{i}\Leftrightarrow$

  $ky$ est multiple de $km\Leftrightarrow$

  $y$ est multiple de $m$,

ce qui prouve que $m$ est un ppcm des $a_{i}$.

 

Exercice 5

On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls $x$ et $y$ possèdent toujours un ppcm, noté $x\lor y$, donc aussi un pgcd, $x\land y:={\frac {xy}{x\lor b}}$. On rappelle que le pgcd vérifie : $\left(x\land y\right)z=(xz)\land (yz)$.

On va démontrer, pour tous éléments non nuls $a$, $b$ et $c$ :

$a\land \left(b\lor c\right)=\left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)$.

1°  Montrer que le membre de gauche est égal à ${\frac {ab\land ac\land bc}{b\land c}}$ et celui de droite à ${\frac {(a\land b)(a\land c)}{a\land b\land c}}$.

2°  Vérifier que $\left(ab\land ac\land bc\right)\left(a\land b\land c\right)$ et $(a\land b)(a\land c)(b\land c)$ sont égaux, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.

3°  A-t-on également

$a\lor \left(b\land c\right)=\left(a\lor b\right)\land \left(a\lor c\right)$ ?

Solution

1°  $a\land \left(b\lor c\right)={\frac {ab\land ac}{b\land c}}\land {\frac {bc}{b\land c}}={\frac {ab\land ac\land bc}{b\land c}}$ et $\left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)={\frac {\left(a\land b\right)\left(a\land c\right)}{\left(a\land b\right)\land \left(a\land c\right)}}={\frac {(a\land b)(a\land c)}{a\land b\land c}}$.

2° 

${\begin{aligned}\left(ab\land ac\land bc\right)\left(a\land b\land c\right)&=\left(ab\left(a\land b\land c\right)\right)\land \left(ac\left(a\land b\land c\right)\right)\land \left(bc\left(a\land b\land c\right)\right)\\&=a^{2}b\land ab^{2}\land abc\land a^{2}c\land abc\land ac^{2}\land abc\land b^{2}c\land bc^{2}\\&=a^{2}b\land ab^{2}\land a^{2}c\land ac^{2}\land b^{2}c\land bc^{2}\land abc\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}(a\land b)(a\land c)(b\land c)&=(a\land b)\left(a(b\land c)\right)\land \left(c(b\land c)\right)\\&=(a\land b)\left(ab\land ac\land bc\land c^{2}\right)\\&=\left(a\left(ab\land ac\land bc\land c^{2}\right)\right)\land \left(b\left(ab\land ac\land bc\land c^{2}\right)\right)\\&=a^{2}b\land a^{2}c\land abc\land ac^{2}\land ab^{2}\land abc\land b^{2}c\land bc^{2}\\&=a^{2}b\land ab^{2}\land a^{2}c\land ac^{2}\land b^{2}c\land bc^{2}\land abc.\end{aligned}}$

3°  Oui, par la même méthode, ou simplement parce que dans un treillis, si l'une des deux lois $\land$ ou $\lor$ est distributive par rapport à l'autre, la seconde est également distributive par rapport à la première.

 

Exercice 6

Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie.

Solution

Si $\left(X\right)=\left(d\right)$, il existe $Y$ fini inclus dans $X$ tel que $d\in \left(Y\right)$ donc tel que $\left(X\right)\subset \left(Y\right)$, d'où l'égalité.

 

Exercice 7

Soient $a$ et $b$ deux éléments d'un anneau, tels que :

• $ab+ba=1$ ;
• $a^{2}b+ba^{2}=a$.

Montrer que :

1. $a^{2}b=ba^{2}$
2. $2aba=a$
3. $a$ est inversible, d'inverse $2b$.

Solution

1. En utilisant deux fois la première hypothèse, $a^{2}b=a(1-ba)=a-aba=(1-ab)a=ba^{2}$.
2. La seconde devient, par le même calcul : $a=2(a-aba)$ donc $a=2aba$.
3. $b$ commute à lui-même et à $a^{2}$, donc à $2a^{2}b=a$, et $1=ab+ba=(2b)a$.

 

Exercice 8

Soient $a$ et $b$ deux éléments inversibles d'un anneau, tels que $a+b=1$ et $a^{-1}+b^{-1}=1$. Montrer que :

1. $ab=ba=1$ ;
2. $a^{2}=a-1$ ;
3. $a^{3}=-1$.

Solution

1. $b=b\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=ba^{-1}+1=\left(b+a\right)a^{-1}=a^{-1}$.
2. $a^{2}+1=a\left(a+a^{-1}\right)=a\left(a+b\right)=a$.
3. $a^{3}=a\left(a-1\right)=\left(a-1\right)-a=-1$.

 

Exercice 9

Soit $(A,+,\cdot )$ un anneau commutatif. On note $B=\{x\in A\mid x^{2}=x\}$.

1. Vérifier que $\forall x\in B\quad 1-x\in B$.
2. On pose $x\circ y=x+y-2xy$. Montrer que $\circ$ est une loi de composition interne sur $B$ et que $(B,\circ ,\cdot )$ est un anneau commutatif unitaire.

Solution

1. Immédiat.
2. Si $x,y\in B$ alors $x\circ y=(x-y)^{2}$ donc $(x\circ y)^{2}=(x-y)^{4}=x-4xy+6xy-4xy+y=x\circ y$. Donc $B$ est stable par $\circ$, et bien sûr aussi par $\cdot$. Ces deux lois sur $B$ sont commutatives et admettent 1 pour neutre. Tout élément $x$ de $B$ a un symétrique dans $B$ pour $\circ$ : l'élément $1-x$.
   Il reste à vérifier que $\circ$ est associative et que $\cdot$ est distributive par rapport à $\circ$ : soient $x,y,z\in B$ ;
   • associativité : $\left(x\circ y\right)\circ z=(x+y-2xy)+z-2(x+y-2xy)z=x+y+z-2(xy+xz+yz)+4xyz=x+(y+z-2yz)-2x(y+z-2yz)=x\circ \left(y\circ z\right)$.
   • distributivité : $xz\circ yz=xz+yz-2xzyz=xz+yz-2xyz=(x+y-2xy)z=\left(x\circ y\right)z$.

 

Exercice 10

Soient un entier $f\leq -2$ et $\omega ,{\overline {\omega }}$ les deux solutions complexes de $z^{2}-z-f=0$. On désigne par $\mathbb {Z} [\omega ]$ l'ensemble des nombres complexes de la forme $p+q\omega$ où $(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}$.

1. Calculer $\omega +{\overline {\omega }}$ et $\omega {\overline {\omega }}$.
2. Montrer que $\mathbb {Z} [\omega ]$ est un sous-anneau de $\mathbb {C}$ stable par conjugaison.
3. Montrer que $\forall z\in \mathbb {Z} [\omega ]\quad z{\bar {z}}\in \mathbb {N}$.
4. Montrer qu'un élément $p+q\omega$ est inversible dans $\mathbb {Z} [\omega ]$ si et seulement si $p^{2}+pq-fq^{2}=1$.
5. En déduire que les seuls éléments inversibles de $\mathbb {Z} [\omega ]$ sont $1$ et $-1$.

Solution

1. $\omega +{\overline {\omega }}=1$ et $\omega {\overline {\omega }}=-f$.
2. $\mathbb {Z} [\omega ]$ est évidemment stable par somme et opposés et contient 0 et 1. Il est aussi stable par produit et conjugaison, car il contient $\omega ^{2}=f+\omega$ et ${\overline {\omega }}=1-\omega$.
3. L'entier $(p+q\omega )(p+q{\overline {\omega }})=p^{2}+pq(\omega +{\overline {\omega }})+q^{2}\omega {\overline {\omega }}=p^{2}+pq-fq^{2}$ est positif car supérieur à $p^{2}+pq+q^{2}$.
4. Si $p^{2}+pq-fq^{2}=1$ alors $p+q\omega$ est inversible dans $\mathbb {Z} [\omega ]$, d'inverse $p+q{\overline {\omega }}$. Réciproquement, si $z=p+q\omega$ est inversible dans $\mathbb {Z} [\omega ]$, d'inverse $z'=p'+q'\omega$, alors $(p^{2}+pq-fq^{2})(p'^{2}+p'q'-fq'^{2})=z{\overline {z}}z'{\overline {z'}}=zz'{\overline {zz'}}=1$ donc l'entier positif $p^{2}+pq-fq^{2}$, divisant 1, est égal à 1.
5. Si $1=p^{2}+pq-fq^{2}=(p+q/2)^{2}-(f+1/4)q^{2}\geq -(f+1/4)q^{2}\geq 7q^{2}/4$ alors $q=0$ donc $p=\pm 1$.