Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières

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Fonctions analytiques

Fonction analytique en un point

Une fonction $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ est dite analytique en un point $z_{0}\in \mathbb {C}$ si elle admet un développement en série entière autour de ce point : $f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}(z-z_{0})^{m}$.

Fonction analytique

Une fonction $f:\Omega \subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ est dite analytique sur son domaine $\Omega$, si elle est analytique en tous les points de son domaine.

Théorème de Taylor

Nous allons généraliser la formule de Taylor aux fonctions de variable complexe.

Début d’un théorème

Théorème de Taylor

Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$. Alors, sur tout disque $D(z_{0},R)\subset \Omega$, on a

$f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}(z-z_{0})^{m}$.

Fin du théorème

Corollaire 1 : fonctions entières

Si $f$ est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur $\mathbb {C}$, alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.

Corollaire 2 : unicité du prolongement analytique

Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe $\Omega \subset \mathbb {C}$. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

• $f$ est la fonction nulle ;
• il existe un point $z_{0}\in \Omega$ en lequel $f$ et toutes ses dérivées sont nulles ;
• l'ensemble des zéros de $f$ admet un point d'accumulation $z_{0}\in \Omega$.