Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe

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L'exponentielle complexe

Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.

Définition de l'exponentielle complexe

L'exponentielle complexe est définie par :

$\forall z\in \mathbb {C} \quad \exp(z)=\operatorname {e} ^{z}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {z^{m}}{m!}}$

et holomorphe sur $\mathbb {C}$.

Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans $\mathbb {C}$ puisque $\forall k\in \mathbb {Z} \quad \operatorname {e} ^{z}=\operatorname {e} ^{z+2k\mathrm {i} \pi }$.

Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans $\mathbb {C}$ comme un logarithme dans $\mathbb {R}$

Fonctions hyperboliques

Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à $\mathbb {C}$ :

$\cosh z={\frac {\operatorname {e} ^{z}+\operatorname {e} ^{-z}}{2}},\quad \cos z={\frac {\operatorname {e} ^{z\mathrm {i} }+\operatorname {e} ^{-z\mathrm {i} }}{2}}=\cosh(\mathrm {i} z)$

$\sinh z={\frac {\operatorname {e} ^{z}-\operatorname {e} ^{-z}}{2}},\quad \sin z={\frac {\operatorname {e} ^{z\mathrm {i} }-\operatorname {e} ^{-z\mathrm {i} }}{2\mathrm {i} }}={\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}$

Propriétés de l'exponentielle complexe

$\forall \;z,w\in \mathbb {C}$ :

• $\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)$ ;
• $\forall n\in \mathbb {Z} \;\exp(z)^{n}=\exp(nz)$ ;
• $\ |\exp(z)|=\exp(\operatorname {Re} (z))$.

La fonction « argument » : Arg

Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo $2\pi$ et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.

Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :

Définition de la fonction argument

$\forall \;z=x+\mathrm {i} y\;\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$ on a :

$\operatorname {Arg} (x+\mathrm {i} y)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y<0.\end{cases}}$

On constate que cette fonction Arg(z) n’est pas prolongeable continument aux $z\in \left]-\infty ,0\right[$, car si elle était définie sur $\mathbb {C} \setminus \{0\}$, on aurait un saut de $2\pi$ et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.

On appelle cette fonction détermination principale de l'argument.

Le logarithme complexe

Définition du logarithme complexe

On définit sur $\Omega =\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$ la fonction $\mathrm {Log}$, qu'on appellera détermination principale du logarithme complexe par :

$\mathrm {Log} :\Omega \to \mathbb {C} ,\quad z\mapsto \ln(|z|)+\mathrm {i} \,\operatorname {Arg} \left(z\right)$

où $\ln$ désigne le logarithme népérien réel usuel.

Alors, $\mathrm {Log}$ est holomorphe sur $\Omega$.

Propriétés

Pour tout $z\in \Omega$, on a :

1. $\operatorname {Log} '(z)={\frac {1}{z}}$,
2. $\operatorname {e} ^{\operatorname {Log} (z)}=z$,
3. $\operatorname {Log} (\operatorname {e} ^{z})=z+2\mathrm {i} \pi \mathbb {Z}$ dès que $\operatorname {e} ^{z}\in \Omega$.
4. $\operatorname {Log} (1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}z^{n}$ si $|z|\leq 1$ et $z\neq -1$.

Faites ces exercices : Série entière du logarithme.

Dérivées partielles du logarithme complexe

On note $z=x+y\mathrm {i}$, pour $z\in \Omega$, on a :

• $\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{x}(\ln({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\mathrm {i} \mathrm {D} _{x}(\operatorname {Arg} (x+y\mathrm {i} ))={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}$ ;
• $\mathrm {D} _{y}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{y}(\ln({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}(\operatorname {Arg} (x+y\mathrm {i} ))={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {y+x\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}$.

Ainsi $\operatorname {Log}$ est holomorphe, puisque :

$\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}\operatorname {Log} (z)={\frac {x-y\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {y+x\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}=0$.

La dérivée de $\operatorname {Log}$ se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

$\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{z}\operatorname {Log} (z)\mathrm {D} _{x}(z)$,

ce qui donne :

$\mathrm {D} _{z}\operatorname {Log} (z)={\frac {\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)}{\mathrm {D} _{x}(z)}}={\frac {x-y\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\bar {z}}{{\bar {z}}z}}={\frac {1}{z}}$.

Puissance généralisée

Puissance généralisée ($z^{\alpha }$)

Soit $\alpha \in \mathbb {C}$ et $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$, on appelle puissance généralisée (ou détermination/branche principale) de $z^{\alpha }$ la fonction définie par : $z^{\alpha }=\exp(\alpha \operatorname {Log} (z))$