En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Série génératrice d'une suite Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1-1
Calculer le carré de la série formelle , puis vérifier que son produit par est bien égal à .
Solution
.
.
Retrouver ce résultat par dérivation formelle.
Solution
.
Exercice 1-2
Soit la suite définie par et .
On pose . Montrer que .
Montrer que .
En utilisant l'exercice précédent, en déduire une expression explicite de .
La vérifier par récurrence.
Solution
se réécrit , d'où le résultat.
D'après la question précédente, donc . On vérifie que , d'où le résultat.
D'après la question précédente, donc .
Cette égalité est bien vérifiée pour et pour et si, pour un certain , elle l'est pour et , alors elle l'est pour car .
Exercice 1-3
Reprendre la méthode précédente pour déterminer l’expression explicite du terme général de la suite définie par et .
En initialisant la récurrence à , on vient de redémontrer le cas particulier bien connu . Inversement, on peut s'appuyer sur ce cas pour n'initialiser la récurrence qu'à .
On démarre la récurrence à . L'initialisation est acquise (cf. ci-dessus) et pour l'hérédité, on utilise l'indication, jointe au fait que
Cet exercice constitue la démonstration par Euler (en 1773) de la formule du binôme généralisée, dans le cas d'un exposant rationnel.
On définit (pour tout ) les coefficients binomiaux généralisés :
,
puis la série formelle
.
Pour tous réels (et tout ), on note le -ième coefficient de la série formelle produit :
.
Vérifier que si alors .
Démontrer que est un polynôme en et (à coefficients rationnels).
Déduire des deux questions précédentes que (pour tout ), donc .
En déduire que , en commençant par traiter le cas .
Solution
Si alors, d'après la formule du binôme usuelle, .
.
Le polynôme s'annule sur donc c'est le polynôme nul. On peut détailler : pour tout , est nul car il a une infinité de racines (tous les entiers naturels) ; donc le polynôme , vu comme polynôme en à coefficients dans , est nul car, de même, il a une infinité de racines .
D'après la question précédente (et la question 1), et , donc .
Ranjan Roy, Sources in the Development of Mathematics: Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century, Cambridge University Press, 2011 [lire en ligne], chap.4.3 (« Euler's proof for rational indices ») ;
L. Euler, « Demonstratio theorematis Neutoniani de evolutione potestatum binomii pro casibus, quibus exponentes non sunt numeri integri », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 19, 1775, p. 103-111 [texte intégral] (E465, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 1er juillet 1773).
Cette preuve est moins bien expliquée sur xymaths.free.fr, et carrément comprise de travers par R. F. Muirhead, « Against Euler's proof of the binomial theorem for negative and fractional exponents », Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 17, 1898, p. 38-41 [lien DOI].