Matrice/Exercices/Déterminant

Exercice 2-1

Soient $A,B\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ telles que $AB=BA$. Montrer que $\det \left(A^{2}+B^{2}\right)\geq 0$.

Solution

Puisque $A$ et $B$ commutent, on a $A^{2}+B^{2}=\left(A+\mathrm {i} B\right)\left(A-\mathrm {i} B\right)$, et donc :

$\det \left(A^{2}+B^{2}\right)=\det \left(A+\mathrm {i} B\right)\det \left(A-\mathrm {i} B\right)=\det \left(A+\mathrm {i} B\right){\overline {\det \left(A+\mathrm {i} B\right)}}=\left|\det \left(A+\mathrm {i} B\right)\right|^{2}\geq 0$.

 

Exercice 2-2

Soient $A,B\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {Z} )$. On suppose que les entiers $\det A$ et $\det B$ sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe $U,V\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {Z} )$ telles que $AU+BV=I_{n}$.

Solution

Soient $a=\det A$ et $b=\det B$. D'après la formule de Laplace, $A\,{}^{t}\!\left(\operatorname {com} A\right)=a\mathrm {I} _{n}$ et $B\,{}^{t}\!\left(\operatorname {com} B\right)=b\mathrm {I} _{n}$ et d'après l'identité de Bézout, il existe $u,v\in \mathbb {Z}$ tels que $au+bv=1$. Les matrices $U:=u\,{}^{t}\!\left(\operatorname {com} A\right)$ et $V:=v\,{}^{t}\!\left(\operatorname {com} B\right)$ répondent donc au problème.

 

Exercice 2-3

À tout polynôme unitaire $P(X)=c_{0}+c_{1}X+\dots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}$ on associe sa « matrice compagnon » :

$C(P)={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}$.

Démontrer que $\det(XI_{n}-C(P))=P(X)$.

Solution

Notons $L_{1},\dots ,L_{n}$ les lignes de la matrice

$XI_{n}-C(P)={\begin{pmatrix}X&0&\dots &0&c_{0}\\-1&X&\dots &0&c_{1}\\0&-1&\dots &0&c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&X+c_{n-1}\end{pmatrix}}$.

En remplaçant $L_{1}$ par $L_{1}+XL_{2}+X^{2}L_{3}+\dots +X^{n-1}L_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&P(X)\end{pmatrix}}$ puis en développant par rapport à cette première ligne, on obtient :

$\det(XI_{n}-C(P))=(-1)^{n-1}P(X)D$, avec $D={\begin{pmatrix}-1&X&\dots &0\\0&-1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &-1\end{pmatrix}}=(-1)^{n-1}$.

 

Exercice 2-4

Démontrer que

${\begin{vmatrix}1&a_{1}&a_{1}^{2}&\dots &a_{1}^{n-1}\\1&a_{2}&a_{2}^{2}&\dots &a_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&a_{n}&a_{n}^{2}&\dots &a_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{j}-a_{i}\right)$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-5

À l'aide de l'exercice précédent, déterminer (en fonction de $\lambda$ et $n$) pour quelle valeur de $\mu$ le déterminant suivant est nul :

${\begin{vmatrix}1&1&1&\dots &1\\\lambda &1&2&\dots &2^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\\\lambda ^{n-1}&1&n&\dots &n^{n-1}\\\lambda ^{n}-\mu &1&n+1&\dots &(n+1)^{n-1}\end{vmatrix}}$.

Solution

Ce déterminant, développé suivant la première colonne, est égal à

$\left(\sum _{k=0}^{n-1}(-\lambda )^{k}D_{k}\right)+(-1)^{n}(\lambda ^{n}-\mu )D_{n}$

avec

$D_{k}=\prod _{1\leq i<j\leq n+1 \atop i,j\neq k+1}\left(j-i\right)$

donc

${\frac {D_{k}}{D_{n}}}={\frac {{\cancel {\prod _{1\leq i<j\leq n+1 \atop i,j\neq k+1,n+1}}}\times \prod _{1\leq i<k+1}\left(n+1-i\right)\times \prod _{k+1<i<n+1}\left(n+1-i\right)}{{\cancel {\prod _{1\leq i<j\leq n+1 \atop i,j\neq k+1,n+1}}}\times \prod _{1\leq i<k+1}\left(k+1-i\right)\times \prod _{k+1<j<n+1}\left(j-(k+1)\right)}}={\frac {{\frac {n!}{(n-k)!}}\times (n-k-1)!}{k!\times (n-k-1)!}}={\binom {n}{k}}$.

Il s'annule pour

$\mu ={\frac {\sum _{k=0}^{n}(-\lambda )^{k}D_{k}}{(-1)^{n}D_{n}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-\lambda )^{k}{\binom {n}{k}}=(\lambda -1)^{n}$.