Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Problème 1

Si G est un groupe, désignons par G^l le sous-groupe de S_G formé par les translations gauches g^l : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que G^l est isomorphe à G. (Voir le chapitre Holomorphe d'un groupe.)
Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que G^l est sous-groupe normal minimal de l'holomorphe Hol(G) de G.

Solution

Puisque G^l est isomorphe à G, il est caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouvons que G^l est sous-groupe normal minimal de Hol(G). Soit N un sous-groupe normal de Hol(G) contenu dans G^l; il s'agit de prouver que N est égal à 1 ou à G^l. D'après le chapitre Holomorphe d'un groupe, le fait que N soit normal dans Hol(G) et contenu dans G^l entraîne que N est caractéristique dans G^l. Nous avons noté que G^l est caractéristiquement simple, donc N est égal à 1 ou à G^l, ce qu’il fallait démontrer.

 

Remarque. Puisque G^l est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.