En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Relations entre matrices Matrice/Exercices/Relations entre matrices », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit un corps commutatif.
Exercice 4-1
Soient A et B deux matrices carrées de même taille.
Montrer que si A ou B est inversible alors AB et BA sont semblables.
Montrer par un contre-exemple que cette hypothèse d'inversibilité est indispensable.
Solution
Si est inversible alors donc et sont semblables. Le cas où est inversible s'en déduit ou se traite de même.
Pour les matrices
et ,
on a et .
Exercice 4-2
Soient .
Démontrer que si et sont équivalentes alors elles ont même rang.
Démontrer la réciproque. Indication : montrer que si alors est équivalente à la matrice (écrite par blocs) .
Solution
Soient et deux matrices inversibles telles que . Notons les applications linéaires représentées par dans les bases canoniques de et .
Puisque est surjective, .
Puisque est injective, elle transforme une base de en une base de .
Par conséquent, .
Soit à nouveau l'application linéaire représentée par dans les bases canoniques. Soient une base de , tels que , et une base de . Alors, est une base de et en complétant arbitrairement en une base de , la matrice de dans est celle proposée, qui est donc équivalente à . Elle est de même équivalente à si , donc et sont alors équivalentes.
Exercice 4-3
Quel est l'ensemble des matrices de :
semblables à ?
équivalentes à ?
Trouver deux matrices inversibles non semblables, bien qu'ayant même polynôme caractéristique.
Solution
.
.
et .
Exercice 4-4
Soit un polynôme unitaire irréductible. Montrer que toutes les matrices carrées à coefficients dans dont le polynôme caractéristique est sont semblables.
Solution
Soient , de polynôme caractéristique , un vecteur non nul de , pour tout entier , et le sous-espace engendré par . Alors, est stable par donc égal à (car le polynôme caractéristique de la restriction de à est un diviseur ), donc est une base de . La matrice de dans cette base est la matrice compagnon de . Par conséquent, toute matrice dont le polynôme caractéristique est est semblable à cette matrice compagnon.