En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application linéaire : Rang Application linéaire/Rang », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
E, F et G sont des K-espaces vectoriels de dimension quelconque (finie ou infinie), sauf dans le dernier théorème.
Isomorphisme fondamental
Début d’un théorème
Théorème
Soit . Un sous-espace vectoriel de est supplémentaire de si et seulement si la restriction de , de dans , est un isomorphisme.
Fin du théorème
Démonstration
Notons la restriction de .
, donc est injective si et seulement si .
est surjective si et seulement si , c'est-à-dire : , ou encore , ce qui équivaut à .
D'après l'« isomorphisme fondamental » (voir supra), la dimension de tout supplémentaire G de dans E est égale à . À l'aide du théorème sur la dimension d'une somme directe, on en déduit que .
Caractérisations de la bijectivité
Début d’un théorème
Théorème
On suppose (un entier) et .
est un isomorphismerg(u) = nKer(u) = {0}.
Fin du théorème
Remarque
Les hypothèses de ce théorème sont vérifiées en particulier si et .