Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction

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Définition

Définition

Soient $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un même intervalle. On dit que

$F$ est une primitive de $f$

lorsque $F$ est dérivable et

$f$ est la dérivée de $F$.

La dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle. Autrement dit, les constantes additives disparaissent à la dérivation. En conséquence, une fonction qui a au moins une primitive en a toujours une infinité (pour cette raison, on dit « une primitive » et non « la primitive »).

Début de l'exemple

Exemple

• $F(x)={\frac {x^{2}}{2}}+3$
• $G(x)={\frac {x^{2}}{2}}-1$
• $H(x)={\frac {x^{2}}{2}}+5000$
• $K(x)={\frac {x^{2}}{2}}$
• $I(x)={\frac {x^{2}}{2}}+1,5$

Calculons les dérivées de chacune de ces fonctions :

• $F'(x)=\ldots$
• $G'(x)=\ldots$
• $H'(x)=\ldots$
• $K'(x)=\ldots$
• $I'(x)=\ldots$

F, G, H, K, I sont donc toutes des primitives de $f(x)=\ldots$

Solution

$f(x)=x$.

 

Fin de l'exemple

Exemples

Quelques primitives de fonctions très usuelles

$f:x\mapsto 2x\qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction $F(x)=x^{2}$ est une primitive de $f$. En effet, $F'(x)=2x=f(x)$.

 

$f:x\mapsto 1\qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction $F(x)=x$ est une primitive de $f$. En effet, $F'(x)=1=f(x)$.

 

$f:x\mapsto 0\qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction $F(x)=1$ est une primitive de $f$. En effet, $F'(x)=0=f(x)$.

 

$f:x\mapsto -5\qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction $F(x)=-5x$ est une primitive de $f$. En effet, $F'(x)=-5=f(x)$.

 

$f:x\mapsto 3x^{2}\qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction $F(x)=x^{3}$ est une primitive de $f$. En effet, $F'(x)=3x^{2}=f(x)$.

 

Une méthode élémentaire

On utilise souvent pour les primitives simples la propriété suivante : Une constante multiplicative est « transparente » à la dérivation :

$(k.u)'=k.u'$

Début de l'exemple

Exemple

Donner une primitive de $f(x)=x^{2}$. On sait qu’il faut des $x^{3}$, mais $(x^{3})'=3x^{2}$ et non $x^{2}$. On a donc l’idée d’anticiper la sortie du 3 en multipliant par son inverse ${\frac {1}{3}}$.

$F(x)=\ldots x^{3}$ et donc $F'(x)=\ldots =\ldots =f(x)$.

Solution

On pose $F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}$. Ainsi $F'(x)={\frac {1}{3}}(x^{3})'={\frac {1}{3}}\times 3x^{2}=x^{2}=f(x)$.

 

Fin de l'exemple

Existence et non-unicité

Toutes les primitives d’une fonction donnée ne diffèrent que d’une constante additive :

Début d’un théorème

Théorème

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors

les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $F+k$,

où $k$ est un nombre réel quelconque.

Fin du théorème

On verra au chapitre suivant que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive (donc une infinité).

Unicité en fixant une valeur

Corollaire

Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$.

Pour tout $a\in I$ et tout $b\in \mathbb {R}$, il existe (sur $I$) une primitive $F$ de $f$ et une seule telle que $F(a)=b$.

Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.