Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes

Exercice 9-1

Résoudre les systèmes suivants :

1°  ${\begin{cases}\sin x\cos y={\frac {3}{4}}\\\cos x\sin y={\frac {1}{4}}~;\end{cases}}$

2°  ${\begin{cases}\cos x\cos y={\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\\\sin x\sin y={\frac {{\sqrt {3}}-1}{4}}.\end{cases}}$

Solution

1°  $\sin \left(x+y\right)=1{\text{ et }}\sin \left(x-y\right)={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x+y\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}x-y\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {4\pi }{3}}{\pmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow \left(x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{3}}-\pi {\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}-\pi \right){\text{ et }}y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\pmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \left({\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {2\pi }{3}},-{\frac {5\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left({\frac {2\pi }{3}},-{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {\pi }{3}},{\frac {5\pi }{6}}\right){\pmod {2\pi }}.$

2°  $\cos \left(x+y\right)={\frac {1}{2}}{\text{ et }}\cos \left(x-y\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\Leftrightarrow x+y\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}{\text{ et }}x-y\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow \left(y\equiv {\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(y\equiv -{\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv -{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{2}}\right){\pmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \pm \left({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{12}}\right){\text{ ou }}\pm \left({\frac {\pi }{12}},{\frac {\pi }{4}}\right){\pmod {2\pi }}.$

 

Exercice 9-2

Résoudre les systèmes suivants, de paramètres $a,b,c\in \mathbb {R}$ et d'inconnue $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ :

1°  ${\begin{cases}x\sin a+y\sin b=\sin c\\x\cos a+y\cos b=\cos c~;\end{cases}}$

2°  ${\begin{cases}x\sin a+y\sin 2a=\sin 3a\\x\sin 3a+y\sin 6a=\sin 9a.\end{cases}}$

Solution

1°  Le déterminant de ce système d'équations linéaires est égal à $\sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin \left(a-b\right)$.

Il est nul lorsque $a=b+k\pi$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), et l'ensemble des solutions est alors $\{\left(1-(-1)^{k}y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}$.

Si $a-b\notin \pi \mathbb {Z}$, le système est de Cramer et son unique solution est $\left({\frac {\sin \left(c-b\right)}{\sin \left(a-b\right)}},{\frac {\sin \left(a-c\right)}{\sin \left(a-b\right)}}\right)$.

2°  Le système équivaut à

${\begin{cases}\sin a=0{\text{ ou }}x+2y\cos a=3-4\sin ^{2}a\\\sin 3a=0{\text{ ou }}x+2y\cos 3a=3-4\sin ^{2}3a.\end{cases}}$

• Si $a\in \pi \mathbb {Z}$, l'ensemble de ses solutions est donc $\mathbb {R} ^{2}$ tout entier.
• Si $a\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi$, l'ensemble de ses solutions est $\{\left(3-2y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}$.
• Si $a\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi$, l'ensemble de ses solutions est $\{\left(-y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}$.
• Si $a\notin {\frac {\pi }{3}}\mathbb {Z}$, son unique solution est $\left(-2y\cos a+3-4\sin ^{2}a,y\right)$ avec (cf. exercice 3-2) $y=-2{\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}3a}{\cos a-\cos 3a}}={\frac {(3-4\sin ^{2}a)^{2}-1}{2\cos a}}=8\left({\frac {1}{2}}-\sin ^{2}a\right)\cos a$.

 

Exercice 9-3

Résoudre le système :

${\begin{cases}x\sin a+y\sin b+z\sin c=0\\x\cos a+y\cos b+z\cos c=0.\end{cases}}$

Solution

Si $a\equiv b\equiv c\mod \pi$, disons $b=a+\pi$ et $c=a+\ell \pi$, le système équivaut à l'équation $x+(-1)^{k}y+(-1)^{\ell }z=0$, dont les solutions sont évidentes.

Sinon, supposons par exemple $a-b\notin \pi \mathbb {Z}$. Les solutions sont alors (d'après la question 1 de l'exercice précédent) : $\left(-z{\frac {\sin \left(c-b\right)}{\sin \left(a-b\right)}},-z{\frac {\sin \left(a-c\right)}{\sin \left(a-b\right)}},z\right)$, avec $z\in \mathbb {R}$.

 

Exercice 9-4

Soit $a\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$. Résoudre le système :

${\begin{cases}{\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}={\sqrt {3}}\\x-y=a.\end{cases}}$

Solution

Ce système équivaut à $a+2y=x+y={\frac {\pi }{3}}+k\pi$ (avec $k\in \mathbb {Z}$) donc $y={\frac {\pi }{6}}-{\frac {a}{2}}+k{\frac {\pi }{2}}$ et $x={\frac {\pi }{6}}+{\frac {a}{2}}+k{\frac {\pi }{2}}$. (Dans le cas particulier $a={\frac {\pi }{3}}$, seules les valeurs paires de $k$ sont autorisées, pour que $\tan y$ soit bien défini.)

 

Exercice 9-5

Résoudre le système :

${\begin{cases}\sin(x+y)=\cos(x-y)\\\tan x-\tan y=1.\end{cases}}$

Solution

Ce système équivaut à $\left(1-\tan x\right)\left(1-\tan y\right)=0{\text{ et }}\tan x-\tan y=1$, c'est-à-dire à $\left(\tan x=1{\text{ et }}\tan y=0\right){\text{ ou }}\left(\tan y=1{\text{ et }}\tan x=2\right)$. Ses solutions ${\pmod {\pi }}$ sont donc $\left({\frac {\pi }{4}},0\right)$ et $\left(\arctan 2,{\frac {\pi }{4}}\right)$.

 

Exercice 9-6

Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :

1°  ${\begin{cases}\cos x+\cos y=a\\{\frac {1}{\cos x}}+{\frac {1}{\cos y}}=b~;\end{cases}}$

2°  ${\begin{cases}\tan x+\tan y=1\\\cos 2x+\cos 2y=m.\end{cases}}$

Solution de la question 1

1°  Lorsque $b=0$, le système n'a de solutions que si $a=0$ et est alors équivalent à $y\equiv \pm \left(x+\pi \right)\mod 2\pi$.

Lorsque $b\neq 0$, le système est équivalent à $\cos x+\cos y=a{\text{ et }}\cos x\cos y={\frac {a}{b}}$. D'après le cours (cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits), il a donc des solutions si et seulement si $|a|\leq 2{\text{ et }}|a|-1\leq {\frac {a}{b}}\leq {\frac {a^{2}}{4}}$, et les solutions $\{x,y\}{\pmod {2\pi }}$ sont alors $\left\{\pm \arccos c_{+},\pm \arccos c_{-}\right\}$, avec $c_{\pm }={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4{\frac {a}{b}}}}}{2}}$.

 

Solution de la question 2, particulièrement difficile

2°  Les solutions $\{x,y\}$ sont entièrement déterminées ${\pmod {\pi }}$ par $s=\tan x$ et $t=\tan y$, ou encore par $S=s+t$ et $P=st$ (elles existent si et seulement si $S^{2}\geq 4P$).

La première équation donne $S=1$ et la seconde ${\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}=m$, qui se réécrit

$m(1+t^{2})(1+s^{2})=(1-s^{2})(1+t^{2})+(1-t^{2})(1+s^{2})$,

ou encore

$m(2-2P+P^{2})=2(1-P^{2})$,

soit

$(m+2)P^{2}-2mP+2(m-1)=0$.

Si $m=-2$, cette équation devient $P={\frac {3}{2}}$, donc il n'y a pas de solution (car $S^{2}<4P$).

Si $m\neq -2$, le discriminant réduit, $\Delta '=m^{2}-2(m-1)(m+2)=-(m^{2}+2m-4)$, est positif si et seulement si $-1-{\sqrt {5}}\leq m\leq -1+{\sqrt {5}}$, et les racines sont alors $P_{\pm }={\frac {m\pm {\sqrt {\Delta '}}}{m+2}}$ ; il reste à déterminer leur position par rapport à ${\frac {S^{2}}{4}}={\frac {1}{4}}$.

$(m+2){\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {2m}{4}}+2(m-1)={\frac {m+2-8m+32(m-1)}{4^{2}}}={\frac {5(5m-6)}{4^{2}}}$, et si $m>{\frac {6}{5}}$ alors ${\frac {P_{+}+P_{-}}{2}}={\frac {m}{m+2}}>{\frac {1}{4}}$. On a donc :

• si $m>{\frac {6}{5}}$, pas de solution ;
• si $-2<m\leq {\frac {6}{5}}$, seule $P_{-}$ est $\leq {\frac {1}{4}}$ ;
• si $-1-{\sqrt {5}}\leq m<-2$, $P_{+}\leq P_{-}<{\frac {1}{4}}$.

 

Exercice 9-7

Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :

1°  ${\begin{cases}\sin x+\sin y=a\\\cos x+\cos y=b~;\end{cases}}$

2°  ${\begin{cases}\tan x+\tan y=1\\\cos x\cos y=a~;\end{cases}}$

3°  ${\begin{cases}\cos 2x+\cos 2y=1\\\cos x+\cos y=m.\end{cases}}$

Solution

1°  Si $a=b=0$, les solutions $\{x,y\}$ sont $\{x,x+(2k+1)\pi \}\quad x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z}$. Supposons maintenant $a^{2}+b^{2}\neq 0$. Alors, $y\mod 2\pi$ sera entièrement déterminé en fonction de $x$ par son cosinus ($a-\sin x$) et son sinus ($b-\cos x$), sous réserve que ces deux données soient compatibles, c'est-à-dire que $(a-\sin x)^{2}+(b-\cos x)^{2}=1$, ce qui équivaut à

${\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x+{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}}$.

On détermine les solutions $x$ par la méthode habituelle, cf. Cas général (il en existe si et seulement si $a^{2}+b^{2}\leq 4$).

2°  Il faut bien sûr supposer $a\neq 0$. Le système équivaut alors à $\sin(x+y)=\cos x\cos y=a$.

Si $|a|>1$, pas de solution. Si $|a|\leq 1$, $x+y\mod 2\pi$ est déterminé par $\sin(x+y)=a$ et $\cos(x+y)=\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}$, avec $\varepsilon =\pm 1$, et la seconde équation équivaut alors à $\cos(x-y)=2a-\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}$. Or $\left(2a-\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}\right)^{2}\leq 1\Leftrightarrow \varepsilon a=|a|\leq {\frac {4}{5}}$.

Finalement, il y a des solutions si et seulement si $|a|\leq {\frac {4}{5}}$, et elles sont alors données, pour $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ tels que $\sin \alpha =a$, $\cos \alpha ={\frac {a}{|a|}}{\sqrt {1-a^{2}}}$ et $\cos \beta =2a-{\frac {a}{|a|}}{\sqrt {1-a^{2}}}$, par : $x+y\equiv \alpha \mod 2\pi$ et $x-y=\pm \beta \mod 2\pi$, c'est-à-dire $y\equiv \alpha -x\mod 2\pi$ et $x\equiv {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\mod \pi$.

3°  Le système équivaut à $\cos x=u,\cos y=v$ (ce qui détermine $x,y$ à $\pm$ près et $\mod 2\pi$), avec $u+v=m{\text{ et }}uv=P:={\frac {m^{2}}{2}}-{\frac {3}{4}}$.

Cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits : il existe des solutions si et seulement si $|m|-{\frac {1}{4}}\leq {\frac {m^{2}}{2}}$ et $|m|\leq {\sqrt {3}}$.

 

Exercice 9-8

Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :

1°  ${\begin{cases}\tan x+\tan y=a\\\tan \left(x+y\right)=b~;\end{cases}}$

2°  ${\begin{cases}\sin x\sin y=a\\\cos x+\cos y=b.\end{cases}}$

Solution de la question 1

1°  Lorsque $a=0$ ou $b=0$, il n'y a de solutions que si $a=b=0$, et le système équivaut alors à $y\equiv -x\mod \pi$.

Lorsque $a,b\neq 0$, le système équivaut à $\tan x+\tan y=a{\text{ et }}\tan x\tan y=1-{\frac {a}{b}}$ donc à : $\tan x,\tan y$ sont les deux racines réelles du polynôme $t^{2}-at+1-{\frac {a}{b}}$ (qui existent si et seulement si $a^{2}-4\left(1-{\frac {a}{b}}\right)\geq 0$).

 

Solution de la question 2, particulièrement difficile

2°  Les solutions sont déterminées $\mod 2\pi$ par leur cosinus et le signe de leur sinus.

Le signe de $a$ détermine celui de $\sin x\sin y$ et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant $u=\cos x$ et $v=\cos y$ et $P=uv$, à $\left(1-u^{2}\right)\left(1-v^{2}\right)=a^{2}{\text{ et }}u+v=b$, ou encore : $P^{2}+2P+1-b^{2}-a^{2}=0{\text{ et }}u+v=b$, c'est-à-dire $P=-1\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\text{ et }}u+v=b$. Les 2 solutions $u,v$ de $z^{2}-bz+P=0$ appartiennent à $\left[-1,1\right]$ si et seulement si $b^{2}\geq 4P$, $|b|\leq 2$ et $|b|\leq P+1$. Il faut donc que $P=-1+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ (et non pas $-1-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$), et la condition d'existence de solutions $\left(u,v\right)\in \left[-1,1\right]^{2}$ est alors : $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq b^{2}+4\leq 8$.