Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 1

Exercice 3-1

En remarquant que ${\frac {\pi }{12}}={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{6}}$ et ${\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{12}}={\frac {5\pi }{12}}$, calculez les fonctions circulaires de ${\frac {\pi }{12}}$ et ${\frac {5\pi }{12}}$.

Solution

De $\cos {\frac {\pi }{4}}=\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$, $\cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ et $\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$, on déduit :

$\cos {\frac {\pi }{12}}=\sin {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}$ et $\sin {\frac {\pi }{12}}=\cos {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}$ (voir aussi l'exercice 12-5).

 

Exercice 3-2

1°  a)  Calculez $\cos(a+b+c)$.

b)  En déduire $\cos 3a$ en fonction de $\cos a$

2°  a)  Calculez $\sin(a+b+c)$.

b)  En déduire $\sin 3a$ en fonction de $\sin a$

3°  a)  Calculez $\tan(a+b+c)$.

b)  En déduire $\tan 3a$ en fonction de $\tan a$

Solution

1°  a)  $\cos(a+b+c)=\left(\cos a\cos b-\sin a\sin b\right)\cos c-\left(\cos a\sin b+\sin a\cos b\right)\sin c$.

b)  $\cos 3a=\cos ^{3}a-3\sin ^{2}a\cos a=\cos ^{3}a-3\left(1-\cos ^{2}a\right)\cos a=4\cos ^{3}a-3\cos a$.

2°  a)  $\sin(a+b+c)=\left(\cos a\cos b-\sin a\sin b\right)\sin c+\left(\cos a\sin b+\sin a\cos b\right)\cos c$.

b)  $\sin 3a=3\cos ^{2}a\sin a-\sin ^{3}a=3\left(1-\sin ^{2}a\right)\sin a-\sin ^{3}a=3\sin a-4\sin ^{3}a$.

3°  a)  $\tan(a+b+c)={\frac {\tan a+\tan b+\left(1-\tan a\tan b\right)\tan c}{1-\tan a\tan b-\left(\tan a+\tan b\right)\tan c}}$.

b)  $\tan 3a={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}$.

 

Exercice 3-3

Démontrer que (pour tout réel $\alpha$) $1+\sin 2\alpha =\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)^{2}$.

Solution

$\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)^{2}=\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha +2\cos \alpha \sin \alpha =1+\sin 2\alpha$.

 

Exercice 3-4

Calculez $\tan 4a$ en fonction de $\tan a$

Solution

$\tan 2a={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}$ donc $\tan 4a={\frac {2{\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}}{1-\left({\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\right)^{2}}}={\frac {4\tan a\left(1-\tan ^{2}a\right)}{\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}-4\tan ^{2}a}}={\frac {4\tan a-4\tan ^{3}a}{1-6\tan ^{2}a+\tan ^{4}a}}$

 

Exercice 3-5

Démontrez les identités suivantes :

1°  $\cos a\sin(b-c)+\cos b\sin(c-a)+\cos c\sin(a-b)=0$

2°  $\sin a\sin(b-c)+\sin b\sin(c-a)+\sin c\sin(a-b)=0$

3°  $\cos(a+b)\cos(a-b)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}b=\cos ^{2}b-\sin ^{2}a$

4°  $\sin(a+b)\sin(a-b)=\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=\cos ^{2}b-\cos ^{2}a$

Solution

1° et 2°  D'après les formules de transformation d'un produit en somme :

• $\cos a\sin(b-c)+\cos b\sin(c-a)+\cos c\sin(a-b)={\frac {\sin(b-c+a)+\sin(b-c-a)+\sin(c-a+b)+\sin(c-a-b)+\sin(a-b+c)+\sin(a-b-c)}{2}}=0$ ;
• $\sin a\sin(b-c)+\sin b\sin(c-a)+\sin c\sin(a-b)={\frac {\cos(a-b+c)-\cos(a+b-c)+\cos(b-c+a)-\cos(b+c-a)+\cos(c-a+b)-\cos(c+a-b)}{2}}=0$.

3°  $\cos(a+b)\cos(a-b)$ est égal à ${\frac {\cos \left((a+b)+(a-b)\right)+\cos \left((a+b)-(a-b)\right)}{2}}={\frac {\cos 2a+\cos 2b}{2}}$ (d'après les formules de transformation d'un produit en somme) donc aussi à $\cos ^{2}a-\sin ^{2}b$ (d'après les formules de duplication). Par conséquent, $\cos(a+b)\cos(a-b)=\cos(b+a)\cos(b-a)=\cos ^{2}b-\sin ^{2}a$.

4°  $\sin(a+b)\sin(a-b)$ est égal à ${\frac {\cos 2b-\cos 2a}{2}}$ (cf. exercice 3-7 ci-dessous) donc aussi (d'après les formules de duplication) à $\sin ^{2}a-\sin ^{2}b$ et à $\cos ^{2}b-\cos ^{2}a$.

 

Exercice 3-6

Démontrez les identités suivantes :

1°  $\cot a-\tan a=2\cot 2a$ ;

2°  ${\frac {1}{\sin 2a}}+\cot 2a=\cot a$.

Solution

1°  $\cot a-\tan a={\frac {\cos a}{\sin a}}-{\frac {\sin a}{\cos a}}={\frac {\cos ^{2}a-\sin ^{2}a}{\sin a\cos a}}={\frac {\cos 2a}{{\frac {1}{2}}\sin 2a}}=2\cot 2a$ ;

2°  ${\frac {1}{\sin 2a}}+\cot 2a={\frac {1+\cos 2a}{\sin 2a}}={\frac {2\cos ^{2}a}{2\sin a\cos a}}=\cot a$.

 

Exercice 3-7

Démontrez les identités suivantes :

1°  $2\cos(a+b)\sin(a-b)=\sin 2a-\sin 2b$ ;

2°  $2\sin(a+b)\sin(a-b)=\cos 2b-\cos 2a$.

Solution

D'après les formules de transformation d'un produit en somme :

• $2\cos(a+b)\sin(a-b)=\sin \left((a-b)+(a+b)\right)+\sin \left((a-b)-(a+b)\right)=\sin 2a-\sin 2b$ ;
• $2\sin(a+b)\sin(a-b)=\cos \left((a+b)-(a-b)\right)-\cos \left((a+b)+(a-b)\right)=\cos 2b-\cos 2a$.

 

Exercice 3-8

Démontrez les identités suivantes :

1°  $\sin 3a=4\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\sin a$ ;

2°  $\cos 3a=4\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\cos a$ ;

3°  $\tan 3a=\tan \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\tan a$.

Solution

1°  D'après l'exercice précédent, $2\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)=\cos 2a-\cos {\frac {2\pi }{3}}=\cos 2a+{\frac {1}{2}}$.

Donc $4\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\sin a=2\cos 2a\sin a+\sin a=\sin 3a$ (d'après les formules de transformation d'un produit en somme).

2°  D'après les formules de transformation d'un produit en somme (cf. exercice précédent), $2\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)=\cos {\frac {2\pi }{3}}+\cos 2a=\cos 2a-{\frac {1}{2}}$.

Donc $4\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\cos a=2\cos 2a\cos a-\cos a=\cos 3a$ (à nouveau par transformation d'un produit en somme).

3°  Résulte immédiatement de 1° et 2°.

 

Exercice 3-9

Démontrez les identités suivantes :

1°  $\cos ^{4}a-\sin ^{4}a=\cos 2a$ ;

2°  $\cos ^{2}2a-\sin ^{2}a=\cos a\cos 3a$ ;

3°  $\sin 3a\sin ^{3}a+\cos 3a\cos ^{3}a=\cos ^{3}2a$ ;

4°  $4\cos 3a\sin ^{3}a+4\sin 3a\cos ^{3}a=3\sin 4a$.

Solution

1°  $\cos ^{4}a-\sin ^{4}a=\left(\cos ^{2}a+\sin ^{2}a\right)\left(\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\right)=1\times \cos 2a$.

2°  $\cos a\cos 3a={\frac {\cos 4a+\cos 2a}{2}}={\frac {2\cos ^{2}2a-1+1-2\sin ^{2}a}{2}}=\cos ^{2}2a-\sin ^{2}a$.

3°  $(\sin 3a\sin a)\sin ^{2}a+(\cos 3a\cos a)\cos ^{2}a={\frac {\left(\cos 2a-\cos 4a\right)\left(1-\cos 2a\right)+\left(\cos 2a+\cos 4a\right)\left(1+\cos 2a\right)}{4}}={\frac {\cos 2a\left(1+\cos 4a\right)}{2}}=\cos ^{3}2a$.

4°  $4(\cos 3a\sin a)\sin ^{2}a+4(\sin 3a\cos a)\cos ^{2}a=\left(\sin 4a-\sin 2a\right)\left(1-\cos 2a\right)+\left(\sin 4a+\sin 2a\right)\left(1+\cos 2a\right)=2\sin 4a+2\sin 2a\cos 2a=3\sin 4a$.