Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2

Exercice 4-1

Démontrez les identités suivantes :

1°  $\tan 2a-\tan a={\frac {\tan a}{\cos 2a}}$ ;

2°  $\tan 2a-\tan a={\frac {2\sin a}{\cos a+\cos 3a}}$ ;

3°  $\sin 2a={\frac {2}{\tan a+\cot a}}$ ;

4°  ${\frac {2\tan ^{2}a}{1+\tan ^{4}a}}={\frac {\tan ^{2}2a}{2+\tan ^{2}2a}}$.

Solution

1°  D'après l'exercice 4-3, $\tan 2a-\tan a={\frac {\sin a}{\cos 2a\cos a}}={\frac {\tan a}{\cos 2a}}$.

2°  ${\frac {2\sin a}{\cos a+\cos 3a}}={\frac {\sin a}{\cos 2a\cos a}}={\frac {\tan a}{\cos 2a}}$ ($=\tan 2a-\tan a$ d'après 1°).

3°  $\tan a+\cot a={\frac {\sin ^{2}a+\cos ^{2}a}{\cos a\sin a}}={\frac {2}{\sin 2a}}$.

4°  $\tan ^{2}2a={\frac {4\tan ^{2}a}{\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}}}$ donc ${\frac {\tan ^{2}2a}{2+\tan ^{2}2a}}={\frac {4\tan ^{2}a}{2\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}+4\tan ^{2}a}}={\frac {2\tan ^{2}a}{1+\tan ^{4}a}}$.

 

Exercice 4-2

Démontrez les formules suivantes :

1°  ${\frac {1-\cos a}{1+\cos a}}=\tan ^{2}{\frac {a}{2}}$ ;

2°  ${\frac {1-\sin a}{\cos a}}={\frac {\cos a}{1+\sin a}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {a}{2}}\right)$ ;

3°  ${\frac {1-\sin a}{1+\sin a}}=\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {a}{2}}\right)$.

Solution

On a $\tan {\frac {a}{2}}={\frac {1-\cos a}{\sin a}}={\frac {\sin a}{1+\cos a}}$ (cf. exercice 4-7), d'où 1° (par produit) et 2° (en remplaçant $a$ par ${\tfrac {\pi }{2}}-a$). 3° se déduit de 2° par produit, ou de 1° en remplaçant $a$ par ${\tfrac {\pi }{2}}-a$.

 

Exercice 4-3

Soit $p$ et $q$ deux réels tels que $\cos p\cos q\neq 0$. Démontrer que :

1°  $\tan p+\tan q={\frac {\sin(p+q)}{\cos p\cos q}}$ ;

2°  $\tan p-\tan q={\frac {\sin(p-q)}{\cos p\cos q}}$.

Solution

On a $\left(\tan p+\tan q\right)\cos p\cos q=\sin p\cos q+\sin q\cos p=\sin(p+q)$, d'où 1°. 2° s'en déduit en remplaçant $q$ par $-q$, ou se démontre de même.

 

Exercice 4-4

Démontrer que pour tout réel $\alpha$ :

1°  $\cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$ ;

2°  $\cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)$.

Solution

D'après une formule de Simpson, $\cos \alpha +\sin \alpha =\cos \alpha +\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=2\cos {\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)$, d'où la première égalité du 1° ; la seconde vient de ${\frac {\pi }{2}}-\left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\frac {\pi }{4}}+\alpha$. Le 2° se déduit du 1° en remplaçant $\alpha$ par $-\alpha$, ou se démontre de même.

 

Exercice 4-5

Vérifier la relation :

$\tan \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)-\tan \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)=2\tan 2a$.

Solution

D'après l'exercice 4-7, $\tan \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)-\tan \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)={\frac {2\sin 2a}{\cos 2a+\cos {\frac {\pi }{2}}}}=2\tan 2a$.

 

Exercice 4-6

Vérifier les relations :

1°  $\cos 2a={\frac {1}{1+\tan a\tan 2a}}$ ;

2°  $\sin 2a={\frac {1-\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}}$.

Solution

1°  $\left(1+\tan a\tan 2a\right)\cos 2a=\cos 2a+\tan a\sin 2a=\cos 2a+2\sin ^{2}a=1$.

2°  $\sin 2a=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-2a\right)=\cos \left(2\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)\right)={\frac {1-\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}}$.

 

Exercice 4-7

Vérifier les relations :

1°  $\tan a+\tan b={\frac {2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}}$ et $\tan a={\frac {\sin 2a}{1+\cos 2a}}={\frac {1-\cos 2a}{\sin 2a}}$ ;

2°  $\tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}=-{\frac {\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}}$ ;

3°  $\tan(a+b)={\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}}$ ;

4°  $\tan ^{2}a-\tan ^{2}b={\frac {\sin(a+b)\sin(a-b)}{\cos ^{2}a\cos ^{2}b}}$.

Solution

1°  D'après l'exercice 4-3 et les formules de transformation d'un produit en somme, $\tan a+\tan b={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}={\frac {2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}}$, d'où la première égalité du 1°. La seconde s'en déduit en faisant $b=a$. Elle équivaut à la troisième, sachant que $(1+\cos 2a)(1-\cos 2a)=1-\cos ^{2}2a=\sin ^{2}2a$.

2°  ${\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}={\frac {2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{2\cos {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}}=\tan {\frac {a+b}{2}}$, d'où la première égalité du 2°. Elle équivaut à la seconde, sachant que $\left(\sin a+\sin b\right)\left(\sin a-\sin b\right)+\left(\cos a+\cos b\right)\left(\cos a-\cos b\right)=\sin ^{2}a-\sin ^{2}b+\cos ^{2}a-\cos ^{2}b=1-1=0$.

3°  ${\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}}={\frac {(1-\cos 2a)-(1-\cos 2b)}{\sin 2a-\sin 2b}}=-{\frac {\cos 2a-\cos 2b}{\sin 2a-\sin 2b}}=\tan(a+b)$, d'après la question précédente.

4°  D'après l'exercice 4-3, $\tan ^{2}a-\tan ^{2}b=(\tan a+\tan b)(\tan a-\tan b)={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}{\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}$.

 

Exercice 4-8

Vérifier les relations :

1°  $\left(1+\tan a+{\frac {1}{\cos a}}\right)\left(1+\tan a-{\frac {1}{\cos a}}\right)={\frac {\sin 2a}{\cos ^{2}a}}$ ;

2°  ${\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}=\tan 3a\tan a={\frac {\tan ^{2}2a-\tan ^{2}a}{1-\tan ^{2}a\tan ^{2}2a}}$.

Solution

1°  $\left(1+\tan a+{\frac {1}{\cos a}}\right)\left(1+\tan a-{\frac {1}{\cos a}}\right)=(1+\tan a)^{2}-{\frac {1}{\cos ^{2}a}}=2\tan a={\frac {\sin 2a}{\cos ^{2}a}}$.

2°  D'après l'exercice 4-7, ${\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}={\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\sin 2a-\sin 4a}}\times {\frac {\sin 2a-\sin 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}=-\tan 3a\tan(-a)=\tan 3a\tan a$.

Par ailleurs, ${\frac {\tan ^{2}2a-\tan ^{2}a}{1-\tan ^{2}a\tan ^{2}2a}}={\frac {\tan 2a+\tan a}{1-\tan 2a\tan a}}\times {\frac {\tan 2a-\tan a}{1+\tan 2a\tan a}}=\tan 3a\tan a$.