Trigonométrie/Exercices/Relations élémentaires

Exercice 2-1

On définit deux réels $a$ et $b$ par :

$\tan a={\frac {1}{5}},\qquad a\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ ;

$\tan b={\frac {1}{239}},\qquad b\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Calculer le réel $c=4a-b$.

Solution

De la relation trigonométrique

$\tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}$,

on déduit successivement :

$\tan(2a)={\frac {\frac {2}{5}}{1-{\frac {1}{25}}}}={\frac {5}{12}}$ ;

$\tan(4a)={\frac {\frac {5}{6}}{1-{25 \over 144}}}={\frac {120}{119}}$ ;

$\tan(4a-b)={\frac {{\frac {120}{119}}-{\frac {1}{239}}}{1+{\frac {120}{119}}{\frac {1}{239}}}}={\frac {120\times 239-119}{119\times 239+120}}=1=\tan {\frac {\pi }{4}}$.

Pour affirmer que $4a-b={\frac {\pi }{4}}$, il reste à vérifier que

${\frac {\pi }{4}}-\pi <4a-b<{\frac {\pi }{4}}+\pi$,

c'est-à-dire à prouver que

$-{\frac {3\pi }{4}}<4a-b<{\frac {5\pi }{4}}$.

Cet encadrement se démontre en affinant ceux de $a$ et $b$, au vu de leurs tangentes :

$0<a<{\frac {\pi }{6}}$ (car $\tan {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}>{\frac {1}{5}}$) et $0<b<{\frac {\pi }{2}}$

donc

$-{\frac {3\pi }{4}}<-{\frac {\pi }{2}}=4\times 0-{\frac {\pi }{2}}<4a-b<4\times {\frac {\pi }{6}}-0={\frac {2\pi }{3}}<{\frac {5\pi }{4}}$.

 

Exercice 2-2

Dans les formules exprimant $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$, faire successivement $b=-a$, $b={\frac {\pi }{2}}-a$ et $b=\pi -a$, et exprimer les résultats obtenus.

Solution

${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\1&=\cos ^{2}a+\sin ^{2}a\end{aligned}}$

donne :

• pour $b=-a$ :

  ${\begin{aligned}1&=\cos a\cos(-a)-\sin a\sin(-a)\\0&=\sin a\cos(-a)+\cos a\sin(-a)\end{aligned}}$

  c'est-à-dire $\cos(-a)=\cos a$ et $\sin(-a)=-\sin a$ ;

• pour $b={\frac {\pi }{2}}-a$ :

  ${\begin{aligned}0&=\cos a\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)-\sin a\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\\1&=\sin a\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)+\cos a\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\end{aligned}}$

  c'est-à-dire $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\sin a$ et $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\cos a$ ;

• pour $b=\pi -a$ :

  ${\begin{aligned}-1&=\cos a\cos(\pi -a)-\sin a\sin(\pi -a)\\0&=\sin a\cos(\pi -a)+\cos a\sin(\pi -a)\end{aligned}}$

  c'est-à-dire $\cos(\pi -a)=-\cos a$ et $\sin(\pi -a)=\sin a$.

 

Exercice 2-3

Les relations suivantes sont-elles correctes ?

1°  $(\cos a+\cos b)(\cos a-\cos b)=\cos(a+b)\cos(a-b)$.

2°  $(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)=\sin(a+b)\sin(a-b)$.

Solution

1°  Non. Par exemple pour $a=b=0$ : $0\neq 1$.

2°  Oui. $\sin(a+b)\sin(a-b)={\frac {\cos 2b-\cos 2a}{2}}=\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)$.

 

Exercice 2-4

On donne $\tan a=3$.

Calculer :

1°  $\cos 3a$

2°  $\sin 3a$

3°  $\cos 4a$

4°  $\sin 4a$

Solution

Remarquons d'abord que :

• $\cos ^{2}a={\frac {1}{1+3^{2}}}={\frac {1}{10}}$ donc $\cos a={\frac {\varepsilon }{\sqrt {10}}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$, et $\sin a=3\cos a$ ;
• $\cos 2a={\frac {1-3^{2}}{1+3^{2}}}=-{\frac {4}{5}}$ et $\sin 2a={\frac {2\times 3}{1+3^{2}}}={\frac {3}{5}}$.

1°  $\cos 3a=\cos 2a\cos a-\sin 2a\sin a=-{\frac {4}{5}}{\frac {\varepsilon }{\sqrt {10}}}-{\frac {3}{5}}{\frac {3\varepsilon }{\sqrt {10}}}=-{\frac {13\varepsilon }{5{\sqrt {10}}}}$.

2°  $\sin 3a=\cos 2a\sin a+\sin 2a\cos a=-{\frac {4}{5}}{\frac {3\varepsilon }{\sqrt {10}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {\varepsilon }{\sqrt {10}}}=-{\frac {9\varepsilon }{5{\sqrt {10}}}}$

3°  $\cos 4a=\cos ^{2}2a-\sin ^{2}2a={\frac {7}{25}}$.

4°  $\sin 4a=2\cos 2a\sin 2a=-{\frac {24}{25}}$.

 

Exercice 2-5

On donne $\sin x=a$ et $\cos y=b$.

Trouver, combien a priori, il y a de valeurs pour $\sin(x+y)$.

Calculer ces valeurs.

Application : $\qquad a={\frac {1}{2}},\qquad b={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Solution

$\cos x=\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}$ et $\sin y=\varepsilon '{\sqrt {1-b^{2}}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$ et $\varepsilon '=\pm 1$.

$\sin(x+y)=ab+\varepsilon \varepsilon '{\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}}}=ab\pm {\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}}}$ prend donc 2 valeurs (distinctes sauf si $a=\pm 1$ ou $b=\pm 1$).

Application : $\sin(x+y)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\pm {\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$.

 

Exercice 2-6

On donne $\tan a=b$.

1°  Calculer $x=\cos {\frac {a}{2}}$, $y=\sin {\frac {a}{2}}$ et $z=\tan {\frac {a}{2}}$.

(on commencera par déterminer $z$).

2°  Combien trouve-t-on de solutions ?

3°  Montrer que, sur un cercle trigonométrique, les arcs ${\frac {a}{2}}$ sont les sommets d'un carré.

4°  Application : Calculer $\sin {\frac {\pi }{8}}$, $\cos {\frac {\pi }{8}}$ et $\tan {\frac {\pi }{8}}$, sachant que $\tan {\frac {\pi }{4}}=1$.

Solution

1°  $b={\frac {2z}{1-z^{2}}}\Rightarrow bz^{2}+2z-b=0\Rightarrow z={\frac {-1+\varepsilon {\sqrt {1+b^{2}}}}{b}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$.

${\frac {1}{x^{2}}}=1+z^{2}=2{\frac {b-z}{b}}={\frac {2{\sqrt {1+b^{2}}}}{b^{2}}}\left({\sqrt {1+b^{2}}}-\varepsilon \right)\Rightarrow x={\frac {\pm b}{\sqrt {2{\sqrt {1+b^{2}}}\left({\sqrt {1+b^{2}}}-\varepsilon \right)}}}$, et $y=zx$.

2°  Quatre en général.

3°  $a$ est déterminé mod $\pi$ (par sa tangente) donc $a/2$ est déterminé mod $\pi /2$.

4°  $\tan {\frac {\pi }{8}}=-1+{\sqrt {2}}$, $\cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{\sqrt {2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)}}}={\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$ et $\sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {(-1+{\sqrt {2}}){\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{2}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$

 

Exercice 2-7

On donne : $\cos 2a={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$.

Calculer : $\cos a$, $\sin a$ et $\tan a$.

Solution

$\cos ^{2}a={\frac {1+\cos 2a}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{8}}\Rightarrow \cos a=\varepsilon {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$.

$\sin a=\varepsilon '{\sqrt {\frac {1-\cos 2a}{2}}}=\varepsilon '{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ avec $\varepsilon '=\pm 1$.

$\tan a=\varepsilon \varepsilon '{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}{\frac {4}{1+{\sqrt {5}}}}=\varepsilon \varepsilon '{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$.

 

Exercice 2-8

Calculer $\sin 5a$ en fonction de $\sin a=x$.

Écrire $\sin 5a=0$. Interpréter les valeurs obtenues pour $x$.

Solution

Par « délinéarisation », on trouve

$\sin 5a=x^{5}-10x^{3}\cos ^{2}a+5x\cos ^{4}a=x^{5}-10x^{3}\left(1-x^{2}\right)+5x\left(1-x^{2}\right)^{2}=16x^{5}-20x^{3}+5x$.

$\sin 5a=0\Leftrightarrow x=0$ ou $|x|={\sqrt {\frac {5\pm {\sqrt {5}}}{8}}}$. Les 5 valeurs obtenues pour $x$ sont les sinus des 5 angles $0$, $\pm {\frac {\pi }{5}}$ et $\pm {\frac {2\pi }{5}}$.