Trigonométrie/Exercices/Relations élémentaires

Exercice 2-1

On définit deux réels $a$ et $b$ par :

$\tan a=\frac{1}{5},a\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ ;

$\tan b=\frac{1}{239},b\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$.

Calculer le réel $c=4a-b$.

Solution

De la relation trigonométrique

$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$,

on déduit successivement :

$\tan (2a)=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{5}{12}$ ;

$\tan (4a)=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{120}{119}$ ;

$\tan (4a-b)=\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119}\frac{1}{239}}=\frac{120\times 239-119}{119\times 239+120}=1=\tan \frac{\pi }{4}$.

Pour affirmer que $4a-b=\frac{\pi }{4}$, il reste à vérifier que

$\frac{\pi }{4}-\pi <4a-b<\frac{\pi }{4}+\pi$,

c'est-à-dire à prouver que

$-\frac{3\pi }{4}<4a-b<\frac{5\pi }{4}$.

Cet encadrement se démontre en affinant ceux de $a$ et $b$, au vu de leurs tangentes :

$0<a<\frac{\pi }{6}$ (car $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{5}$) et $0<b<\frac{\pi }{2}$

donc

$-\frac{3\pi }{4}<-\frac{\pi }{2}=4\times 0-\frac{\pi }{2}<4a-b<4\times \frac{\pi }{6}-0=\frac{2\pi }{3}<\frac{5\pi }{4}$.

 

Exercice 2-2

Dans les formules exprimant $\cos (a+b)$ et $\sin (a+b)$, faire successivement $b=-a$, $b=\frac{\pi }{2}-a$ et $b=\pi -a$, et exprimer les résultats obtenus.

Solution

$\begin{array}{cc}\cos (a+b)& =\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \sin (a+b)& =\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ 1& ={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a\end{array}$

donne :

• pour $b=-a$ :

  $\begin{array}{cc}1& =\cos a\cos (-a)-\sin a\sin (-a)\\ 0& =\sin a\cos (-a)+\cos a\sin (-a)\end{array}$

  c'est-à-dire $\cos (-a)=\cos a$ et $\sin (-a)=-\sin a$ ;

• pour $b=\frac{\pi }{2}-a$ :

  $\begin{array}{cc}0& =\cos a\cos (\frac{\pi }{2}-a)-\sin a\sin (\frac{\pi }{2}-a)\\ 1& =\sin a\cos (\frac{\pi }{2}-a)+\cos a\sin (\frac{\pi }{2}-a)\end{array}$

  c'est-à-dire $\cos (\frac{\pi }{2}-a)=\sin a$ et $\sin (\frac{\pi }{2}-a)=\cos a$ ;

• pour $b=\pi -a$ :

  $\begin{array}{cc}-1& =\cos a\cos (\pi -a)-\sin a\sin (\pi -a)\\ 0& =\sin a\cos (\pi -a)+\cos a\sin (\pi -a)\end{array}$

  c'est-à-dire $\cos (\pi -a)=-\cos a$ et $\sin (\pi -a)=\sin a$.

 

Exercice 2-3

Les relations suivantes sont-elles correctes ?

1°  $(\cos a+\cos b)(\cos a-\cos b)=\cos (a+b)\cos (a-b)$.

2°  $(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)=\sin (a+b)\sin (a-b)$.

Solution

1°  Non. Par exemple pour $a=b=0$ : $0\ne 1$.

2°  Oui. $\sin (a+b)\sin (a-b)=\frac{\cos 2b-\cos 2a}{2}={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b=(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)$.

 

Exercice 2-4

On donne $\tan a=3$.

Calculer :

1°  $\cos 3a$

2°  $\sin 3a$

3°  $\cos 4a$

4°  $\sin 4a$

Solution

Remarquons d'abord que :

• ${\cos }^{2}a=\frac{1}{1+3^2}=\frac{1}{10}$ donc $\cos a=\frac{\epsilon }{\sqrt{10}}$ avec $\epsilon =\pm 1$, et $\sin a=3\cos a$ ;
• $\cos 2a=\frac{1-3^2}{1+3^2}=-\frac{4}{5}$ et $\sin 2a=\frac{2\times 3}{1+3^2}=\frac{3}{5}$.

1°  $\cos 3a=\cos 2a\cos a-\sin 2a\sin a=-\frac{4}{5}\frac{\epsilon }{\sqrt{10}}-\frac{3}{5}\frac{3\epsilon }{\sqrt{10}}=-\frac{13\epsilon }{5\sqrt{10}}$.

2°  $\sin 3a=\cos 2a\sin a+\sin 2a\cos a=-\frac{4}{5}\frac{3\epsilon }{\sqrt{10}}+\frac{3}{5}\frac{\epsilon }{\sqrt{10}}=-\frac{9\epsilon }{5\sqrt{10}}$

3°  $\cos 4a={\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a=\frac{7}{25}$.

4°  $\sin 4a=2\cos 2a\sin 2a=-\frac{24}{25}$.

 

Exercice 2-5

On donne $\sin x=a$ et $\cos y=b$.

Trouver, combien a priori, il y a de valeurs pour $\sin (x+y)$.

Calculer ces valeurs.

Application : $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Solution

$\cos x=\epsilon \sqrt{1-a^2}$ et $\sin y={\epsilon }^{\prime }\sqrt{1-b^2}$ avec $\epsilon =\pm 1$ et ${\epsilon }^{\prime }=\pm 1$.

$\sin (x+y)=ab+\epsilon {\epsilon }^{\prime }\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2}=ab\pm \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2}$ prend donc 2 valeurs (distinctes sauf si $a=\pm 1$ ou $b=\pm 1$).

Application : $\sin (x+y)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\pm \sqrt{1-\frac{1}{4}}\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.

 

Exercice 2-6

On donne $\tan a=b$.

1°  Calculer $x=\cos \frac{a}{2}$, $y=\sin \frac{a}{2}$ et $z=\tan \frac{a}{2}$.

(on commencera par déterminer $z$).

2°  Combien trouve-t-on de solutions ?

3°  Montrer que, sur un cercle trigonométrique, les arcs $\frac{a}{2}$ sont les sommets d'un carré.

4°  Application : Calculer $\sin \frac{\pi }{8}$, $\cos \frac{\pi }{8}$ et $\tan \frac{\pi }{8}$, sachant que $\tan \frac{\pi }{4}=1$.

Solution

1°  $b=\frac{2z}{1-z^2}\Rightarrow b{z}^2+2z-b=0\Rightarrow z=\frac{-1+\epsilon \sqrt{1+b^2}}{b}$ avec $\epsilon =\pm 1$.

$\frac{1}{x^2}=1+z^2=2\frac{b-z}{b}=\frac{2\sqrt{1+b^2}}{b^2}(\sqrt{1+b^2}-\epsilon )\Rightarrow x=\frac{\pm b}{\sqrt{2\sqrt{1+b^2}(\sqrt{1+b^2}-\epsilon )}}$, et $y=zx$.

2°  Quatre en général.

3°  $a$ est déterminé mod $\pi$ (par sa tangente) donc $a/2$ est déterminé mod $\pi /2$.

4°  $\tan \frac{\pi }{8}=-1+\sqrt{2}$, $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}}=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ et $\sin \frac{\pi }{8}=\frac{(-1+\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

 

Exercice 2-7

On donne : $\cos 2a=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Calculer : $\cos a$, $\sin a$ et $\tan a$.

Solution

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{8}\Rightarrow \cos a=\epsilon \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ avec $\epsilon =\pm 1$.

$\sin a={\epsilon }^{\prime }\sqrt{\frac{1-\cos 2a}{2}}={\epsilon }^{\prime }\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$ avec ${\epsilon }^{\prime }=\pm 1$.

$\tan a=\epsilon {\epsilon }^{\prime }\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\frac{4}{1+\sqrt{5}}=\epsilon {\epsilon }^{\prime }\sqrt{5-2\sqrt{5}}$.

 

Exercice 2-8

Calculer $\sin 5a$ en fonction de $\sin a=x$.

Écrire $\sin 5a=0$. Interpréter les valeurs obtenues pour $x$.

Solution

Par « délinéarisation », on trouve

$\sin 5a=x^5-10x^3{\cos }^{2}a+5x{\cos }^{4}a=x^5-10x^3(1-x^2)+5x{(1-x^2)}^2=16x^5-20x^3+5x$.

$\sin 5a=0\iff x=0$ ou $|x|=\sqrt{\frac{5\pm \sqrt{5}}{8}}$. Les 5 valeurs obtenues pour $x$ sont les sinus des 5 angles $0$, $\pm \frac{\pi }{5}$ et $\pm \frac{2\pi }{5}$.