Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension

Lemme de Steinitz

Démontrer que si v₁, … , v_m sont des vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel V engendré par w₁, … , w_n alors m ≤ n et, à permutation près des w_k, l'ensemble {v₁, … , v_m, w_m+1, … , w_n} engendre V.

Solution

• Puisque v₁ appartient à V, il existe des scalaires λ₁, … , λ_n tels que

$v_{1}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}w_{k}$.

Comme v₁ est non nul (puisqu'il appartient à une famille libre), l'un au moins de ces scalaires est non nul. Quitte à réordonner les w_k, on peut donc supposer que λ₁ est non nul. L'équation se réécrit alors

$w_{1}=\lambda _{1}^{-1}v_{1}-\sum _{k=2}^{n}\lambda _{1}^{-1}\lambda _{k}w_{k}$.

Ceci permet d'affirmer que l'ensemble {v₁, w₂, … , w_n} engendre encore V.

• On recommence cette opération pour chaque v_i (pour i de 1 à m). À l'étape i, le raisonnement est le suivant. Puisque (à ce stade) {v₁, … , v_i–1, w_i, … , w_n} engendre V, il existe des scalaires μ₁, … , μ_n tels que

$v_{i}=\sum _{k=1}^{i-1}\mu _{k}v_{k}+\sum _{k=i}^{n}\mu _{k}w_{k}$.

Comme v_i n'est pas combinaison linéaire de v₁, ..., v_i–1, l'un au moins des scalaires μ_i, … , μ_n est non nul (ce qui prouve au passage que i ≤ n). Quitte à réordonner à nouveau les w_k correspondants, on peut alors supposer que μ_i est non nul, d'où l'on tire

$w_{i}=\mu _{i}^{-1}v_{i}-\sum _{k=1}^{i-1}\mu _{i}^{-1}\mu _{k}v_{k}-\sum _{k=i+1}^{n}\mu _{i}^{-1}\mu _{k}w_{k}$,

si bien que {v₁, … , v_i, w_i+1, … , w_n} engendre encore V.

• À la fin de la m-ième opération, on obtient le résultat annoncé.