Algèbre sur un corps

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Département

Algèbre

 

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Définition

Soient $K$ un corps et $A$ un ensemble muni de trois lois, $+,\ast :A\times A\to A$ et $\cdot :K\times A\to A$.

$A$ est une $K$-algèbre (associative) signifie :

• $(A,+,\ast )$ est un anneau ;
• $(A,+,\cdot )$ est un $K$-espace vectoriel ;
• de plus, $\forall \lambda \in K\quad \forall (x,y)\in A^{2}\quad \lambda \cdot \left(x\ast y\right)=\left(\lambda \cdot x\right)\ast y=x\ast \left(\lambda \cdot y\right)$.

Ou encore : $(A,+,\cdot )$ est un $K$-espace vectoriel et $\ast$ est bilinéaire et associative.

Début de l'exemple

Exemples de K-algèbres

• $K\left[X\right]$ (algèbre des polynômes) ;
• ${\mathcal {M}}_{n}\left(K\right)$ (algèbre (non commutative) des matrices carrées d'ordre $n$) ;
• $\operatorname {L} \left(E\right)$ (algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$).

Fin de l'exemple