Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

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Taux de variation

Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un réel $a$.

Le taux de variation $t(h)$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ (avec $h\neq 0$, suffisamment petit pour que $f$ soit définie en $a+h$) est :

$t(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Condition de dérivabilité d’une fonction en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un nombre de $I$. On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si son taux de variation entre $a$ et $a+h$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel $m$ tel que :

$\lim _{h\to 0,h\neq 0}t(h)=m$

ou, ce qui est équivalent, tel que :

$f(a+h)=f(a)+h\times m+h\times \varepsilon (h)$ pour tout réel $h$ tel que $a+h\in I$,

où $\varepsilon :I\to \mathbb {R}$ est une fonction telle que $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$.

L'équivalence entre ces deux conditions sera démontrée dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Nombre dérivé

Le nombre réel $m$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. Ce nombre dérivé est noté $f^{\prime }(a)$.

En résumé : si $f$ est dérivable en $a$ alors le nombre dérivé en $a$ est égal à la limite du taux de variation en $a$ :

$f^{\prime }(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$.

Continuité et dérivabilité

Début d’un théorème

Théorème

Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.

Fin du théorème

Démonstration

$f(x)=f(a)+f(x)-f(a)=f(a)+(x-a)\times {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

donc si $f$ est dérivable en $a$, c'est-à-dire si $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=m\in \mathbb {R}$,

alors $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)+0\times m=f(a)+0=f(a)$, c'est-à-dire que $f$ est continue en $a$.

 

Attention ! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction $x\mapsto \left|x\right|$ est continue sur $\mathbb {R}$, mais elle n’est pas dérivable en $0$. Il existe même des fonctions continues sur $\mathbb {R}$ qui ne sont dérivables en aucun point ! On ne peut pas toujours « faire un dessin ».

Tangente à la courbe d’une fonction en un point (équation cartésienne)

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et soit $C$ sa représentation graphique. La tangente à la courbe $C$ au point $(a,f(a))$ a pour équation :

$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.

Pour plus de détails, voir le chapitre « Équation d'une tangente » de la leçon « Fonction dérivée ».