Étude de fonctions/Continuité

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Définition

Si une fonction $f$ est continue en $a$ alors $f$ est définie en $a$ et admet une limite finie en $a$ qui est $f(a)$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre de $I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si :

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ ou $\lim _{h\to 0}f(a+h)=f(a)$.

Sinon, $f$ est discontinue en $a$.

$f$ est continue sur l'intervalle $I$ si et seulement si, $f$ est continue en tout nombre de $I$.

Interprétation graphique

$f$ est continue sur l'intervalle $I$ signifie que l’on peut tracer la courbe de la fonction $f$ sur $I$ sans avoir à lever le crayon de la feuille.

Fonctions classiques

Toutes les fonctions $x\longmapsto x^{n}$ $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$ sont définies et continues sur $\mathbb {R}$. Par conséquent, toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur $\mathbb {R}$. Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. La fonction sinus et la fonction cosinus sont continues sur $\mathbb {R}$. La fonction racine carrée est continue sur $\mathbb {R} ^{+}$.

Opérations sur les fonctions continues

Opérations classiques

Théorème

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$, soit $a$ un élément de $I$ où $f$ et $g$ sont continues. Alors leur somme $f+g$ , leur produit $f\times g$ et leur quotient ${\frac {f}{g}}$ (si $g(a)$ ≠ $0$) et toutes fonctions du type $kf$ , ($k\in \mathbb {R}$) sont des fonctions continues en $a$. Ceci est démontrable par les propriétés sur les limites.

Corollaire

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur un intervalle $I$. Alors leur somme $f+g$ , leur produit $f\times g$ et leur quotient ${\frac {f}{g}}$ (si $g(x)$ ≠ $0$ $\forall x\in I$) et toutes fonctions du type $kf$ , ($k\in \mathbb {R}$) sont des fonctions continues sur l'intervalle $I$.

Continuité et composition

Théorème

Soit $f$ une fonction définie dans un intervalle $I$ contenant le nombre $a$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $f(a)$. Si $f$ est continue en $a$ et si $g$ est continue en $f(a)$ alors, $g\circ f$ est continue en $a$.

Corollaire

Si $f$ est définie et continue sur un intervalle $I$ et si $g$ est définie et continue sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$. Alors, $g\circ f$ est définie et continue sur $I$.

Conclusion (théorème)

Si $\lim _{a}f=l$ et si $g$ est continue en $l$ alors, $\lim _{a}g\circ f=g(l)$.

Résolution de l'équation $f(x)=k$

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ et si $a$ et $b$ sont deux nombres de $I$ alors, pour tout nombre $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

Corollaire

Si $f$ est une fonction définie, continue et monotone sur l'intervalle $[a;b]$, $a<b$. Alors, pour tout nombre $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il n'existe qu'un seul nombre $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
​ L'équation $f(x)=k$ a une et une seule solution dans $[a;b]$.

Cas général

Si $f$ est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et si $\alpha$ et $\beta$ sont les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle ($\alpha$ et $\beta$ sont des nombres, $+\infty$ ou $-\infty$). Alors, pour tout réel $k$ strictement compris entre $\alpha$ et $\beta$, il existe une et une seule solution à l'équation $f(x)=k$.