Leçons de niveau 12

Étude de fonctions/Continuité

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Continuité
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Chapitre no 2
Leçon : Étude de fonctions
Chap. préc. :Limites et asymptotes
Chap. suiv. :Nombre dérivé de fonctions
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Étude de fonctions/Continuité
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Définition[modifier | modifier le wikicode]

Si une fonction est continue en alors est définie en et admet une limite finie en qui est .


Soit une fonction définie sur un intervalle et un nombre de . On dit que est continue en si et seulement si :

ou .

Sinon, est discontinue en .


est continue sur l'intervalle si et seulement si, est continue en tout nombre de .

Interprétation graphique[modifier | modifier le wikicode]

est continue sur l'intervalle signifie que l’on peut tracer la courbe de la fonction sur sans avoir à lever le crayon de la feuille.

Fonctions classiques[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les fonctions sont définies et continues sur . Par conséquent, toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur . Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. La fonction sinus et la fonction cosinus sont continues sur . La fonction racine carrée est continue sur .

Opérations sur les fonctions continues[modifier | modifier le wikicode]

Opérations classiques[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux fonctions définies sur un intervalle , soit un élément de et sont continues. Alors leur somme , leur produit et leur quotient (si ) et toutes fonctions du type , () sont des fonctions continues en . Ceci est démontrable par les propriétés sur les limites.

Corollaire[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux fonctions définies et continues sur un intervalle . Alors leur somme , leur produit et leur quotient (si ) et toutes fonctions du type , () sont des fonctions continues sur l'intervalle .

Continuité et composition[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie dans un intervalle contenant le nombre et une fonction définie sur un intervalle contenant . Si est continue en et si est continue en alors, est continue en .

Corollaire[modifier | modifier le wikicode]

Si est définie et continue sur un intervalle et si est définie et continue sur un intervalle contenant . Alors, est définie et continue sur .

Conclusion (théorème)[modifier | modifier le wikicode]

Si et si est continue en alors, .

Résolution de l'équation [modifier | modifier le wikicode]

Théorème des valeurs intermédiaires[modifier | modifier le wikicode]

Si est une fonction définie et continue sur un intervalle et si et sont deux nombres de alors, pour tout nombre compris entre et il existe au moins un réel compris entre et tel que .

Corollaire[modifier | modifier le wikicode]

Si est une fonction définie, continue et monotone sur l'intervalle , . Alors, pour tout nombre compris entre et il n'existe qu'un seul nombre compris entre et tel que .
​ L'équation a une et une seule solution dans .

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Si est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle et si et sont les limites de aux bornes de cet intervalle ( et sont des nombres, ou ). Alors, pour tout réel strictement compris entre et , il existe une et une seule solution à l'équation .