Leçons de niveau 12

Étude de fonctions/Fonction dérivée

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Fonction dérivée
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Chapitre no 4
Leçon : Étude de fonctions
Chap. préc. :Nombre dérivé de fonctions
Chap. suiv. :Étude de fonctions
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Étude de fonctions/Fonction dérivée
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Définition[modifier | modifier le wikicode]



Dérivées successives[modifier | modifier le wikicode]

Ceci permet de définir par récurrence les dérivées successives de et sa classe de régularité (voir le § « Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur » du chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle) mais à notre niveau, seule la définition suivante sera parfois utile :




Avec la notation différentielle, on écrit et .

Opérations et dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle

Opération Dérivée
Somme
Produit
Produit par un réel
Carré d'une fonction
Cube d'une fonction
Inverse
Quotient

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de où elles sont définies

Dérivées d'une composée et d'une réciproque[modifier | modifier le wikicode]

Les deux théorèmes suivants (entre autres) sont démontrés dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle (de niveau 14). Pour d'autres compléments, voir d'abord la leçon « Fonction dérivée », de niveau 12 comme la présente leçon.

Début d’un théorème


Fin du théorème




Début d’un théorème


Fin du théorème


Sens de variation (théorème)[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .

  • Si pour tout on a alors est croissante sur .
  • Si pour tout on a alors est décroissante sur .
  • Si pour tout on a alors est strictement croissante sur .
  • Si pour tout on a alors est strictement décroissante sur .

Extremum local (théorème)[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle de et un nombre de . Si admet un extremum local en alors .

Tableau des dérivés[modifier | modifier le wikicode]

Soit
​Soit et
​Soit et
avec