Leçons de niveau 12

Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

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Nombre dérivé de fonctions
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Chapitre no 3
Leçon : Étude de fonctions
Chap. préc. :Continuité
Chap. suiv. :Fonction dérivée
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Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions
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Taux de variation[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie au voisinage d'un réel .

Le taux de variation de entre et (avec , suffisamment petit pour que soit définie en ) est :

.

Condition de dérivabilité d’une fonction en un point[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie sur un intervalle et soit un nombre de . On dit que la fonction est dérivable en si son taux de variation entre et admet une limite finie quand tend vers , c'est-à-dire s'il existe un nombre réel tel que :

ou, ce qui est équivalent, tel que :

pour tout réel tel que ,

est une fonction telle que .

L'équivalence entre ces deux conditions sera démontrée dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Nombre dérivé[modifier | modifier le wikicode]

Le nombre réel est appelé nombre dérivé de en . Ce nombre dérivé est noté .

En résumé : si est dérivable en alors le nombre dérivé en est égal à la limite du taux de variation en  :


.


Continuité et dérivabilité[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Attention ! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction est continue sur , mais elle n’est pas dérivable en . Il existe même des fonctions continues sur qui ne sont dérivables en aucun point ! On ne peut pas toujours « faire un dessin ».

Tangente à la courbe d’une fonction en un point (équation cartésienne)[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction dérivable en et soit sa représentation graphique. La tangente à la courbe au point a pour équation :

.

Pour plus de détails, voir le chapitre « Équation d'une tangente » de la leçon « Fonction dérivée ».