Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

Leçons de niveau 12
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Nombre dérivé de fonctions
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Étude de fonctions
Chap. préc. :Continuité
Chap. suiv. :Fonction dérivée
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Étude de fonctions : Nombre dérivé de fonctions
Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Taux de variation[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie au voisinage d'un réel .

Le taux de variation de entre et (avec , suffisamment petit pour que soit définie en ) est :

.

Condition de dérivabilité d’une fonction en un point[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie sur un intervalle et soit un nombre de . On dit que la fonction est dérivable en si son taux de variation entre et admet une limite finie quand tend vers , c'est-à-dire s'il existe un nombre réel tel que :

ou, ce qui est équivalent, tel que :

pour tout réel tel que ,

est une fonction telle que .

L'équivalence entre ces deux conditions sera démontrée dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Nombre dérivé[modifier | modifier le wikicode]

Le nombre réel est appelé nombre dérivé de en . Ce nombre dérivé est noté .

En résumé : si est dérivable en alors le nombre dérivé en est égal à la limite du taux de variation en  :


.


Continuité et dérivabilité[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Attention ! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction est continue sur , mais elle n’est pas dérivable en . Il existe même des fonctions continues sur qui ne sont dérivables en aucun point ! On ne peut pas toujours « faire un dessin ».

Tangente à la courbe d’une fonction en un point (équation cartésienne)[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction dérivable en et soit sa représentation graphique. La tangente à la courbe au point a pour équation :

.

Pour plus de détails, voir le chapitre « Équation d'une tangente » de la leçon « Fonction dérivée ».