Étude de fonctions/Étude de fonctions

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Introduction

L'étude de fonctions est une synthèse de toutes les notions entourant les fonctions. Il s'agit, à partir d'une expression donnée, de connaître son comportement et sa nature de manière théorique. L'étude d'une fonction a de nombreuses applications, elle s'applique à l'économie pour calculer le rendement de la production d'un produit, en physique pour étudier un phénomène en fonction du temps, de l'espace, en biologie, et dans de nombreux autres domaines. Nous allons dans la suite progresser en détaillant précisément le plan d'étude d'une application nommée f.

Caractérisation

L'étude suit un plan logique et rigoureux.

• Toute application a un domaine de définition: $\mathbb {R}$, ou tout intervalle réel. Ce domaine correspond à l’ensemble des points où la valeur f(x) existe (par exemple, la fonction inverse n’est pas définie en 0).
• Elle a aussi un domaine de continuité en montrant que pour tout point du domaine l’application est continue: on utilise ici les limites en montrant que pour tout élément $x_{0}$ de l’ensemble on a : $lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
• On cherche ensuite à simplifier l'étude, en étudiant la parité ou la périodicité de l'application.

Parité: on regarde (c'est important) d’abord si l’ensemble de définition est symétrique par rapport à l'origine. Ensuite on cherche f(-x), on regarde si c’est égal à -f(x) (fonction impaire) ou à f(x) (fonction paire). Attention, cette recherche doit être effectuée seulement si la parité paraît plausible (si f(x)= exp(x) ce n’est pas utile: $e^{-x}=1/e^{x}$). L'existence d'une parité permet de n'étudier la fonction que pour les réels positifs, et d’en déduire les variations pour x négatif. Périodicité: on cherche un réel T tel que f(x+T)=f(x) ou plus généralement f(x+kT)=f(x) où k est un entier relatif. Ici aussi, il ne faut pas chercher inutilement ce genre de simplification. Le cas le plus courant (98% des cas) concerne les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, ...). De même, cette simplification permet d'étudier f sur un intervalle [x;x+T].

• On détermine ensuite le domaine de dérivabilité, en utilisant les propriétés de dérivation usuelles.
• On dérive ensuite la fonction, en utilisant les règles usuelles.
• On en déduit les variations suivant le signe de la dérivée (cela nécessite parfois un deuxième calcul de dérivée).
• On calcule ensuite les limites aux bornes de l’ensemble de continuité/dérivation, pour la fonction et sa dérivée (couramment en $+-\infty$, et parfois en un point où f (ou f') n’est pas continue.

Prochains développements (en cours d'écriture):

• On cherche et calcule les valeurs remarquables: en plus des limites, il est parfois utile de calculer f(x) pour certaines valeurs de x, comme zéro pour les fonctions paires et impaires, ou pour les x où f(x)=0 si on vous le demande, ...
• Enfin, il est parfois demandé (ou utile) de déterminer les asymptotes. Celles-ci se calculent en l'infini, et plus généralement aux bornes du domaine de continuité (la fonction inverse possède une asymptote verticale x=0).

Cette étude permet de dresser le tableau de variations qui récapitule toute l'étude. Un exemple d'étude de fonction se trouve ici:

En mathématiques, une étude de fonction numérique d'une variable réelle est la détermination de certaines données la concernant, permettant notamment de produire une représentation graphique de sa courbe représentative.

Méthode d'étude

L'étude consiste à déterminer les points et directions particuliers et le comportement aux limites de l'intervalle de définition (qui peuvent être finis ou ±∞). Cela passe par le calcul de sa dérivée et de sa dérivée seconde :

• discontinuité ;
• sens de variation, défini par le signe de la dérivée ;
• point d'inflexion ;
• point de rebroussement ;
• intersection avec les axes ;
• tangente horizontale ;
• asymptote ;
• Éventuelles fonctions associées à la fonction étudiée.

Après avoir tracé et gradué les axes, on place les points particuliers, on trace les droites d'asymptote et les tangentes remarquables, puis à main levée, on trace une courbe lisse en passant par les point déterminés et respectant les directions.

On peut également calculer un certain nombre de points (par exemple une dizaine) judicieusement répartis pour faciliter le tracé. Ces points sont représentés sous la forme d'une croix droite (+).

Exemples

Exemple d'un polynôme

Représentation graphique de la fonction

Considérons le polynôme $f(x)=x^{2}+3x+1~$

• On sait qu’il tend vers $+\infty ~$ en $+\infty ~$ et en $-\infty ~$ ($f(x)\sim x^{2}~$ en $+\infty ~$ et $-\infty ~$) ;
• son graphe coupe l'axe des $y~$ au point d'abscisse $0~$ et d'ordonnée $f(0)=1~$ ;
• la résolution de l’équation du second degré nous indique que son graphe coupe l'axe des $x~$ aux points d'abscisses $r_{1}={\dfrac {-3-{\sqrt {5}}}{2}}$ et $r_{2}={\dfrac {-3+{\sqrt {5}}}{2}}$ ;
• sa dérivée vaut
  $f'(x)=2x+3~$
  elle s'annule en ${\frac {-3}{2}}$, il y a donc une tangente horizontale au point d'abscisse -3/2, la fonction est décroissante avant ($f'(x)<0~$), croissante après ($f'(x)>0~$) ;
• sa dérivée seconde vaut
  $f''(x)=2~$
  la courbe est donc convexe, il n'y a pas de point d'inflexion

On a donc le tableau de variation suivant :

Tableau de variations de la fonction

La fonction admet un minimum correspondant au point (-3/2;-5/4). On choisit un intervalle de x donnant des valeurs « représentables », un graphique lisible, par exemple [-6;3] ; sur cet intervalle, le polynôme va prendre des valeurs entre -5/4=-1,25 et 19, on trace donc les axes. On place les points remarquables (-6;19), (-2,6;0) (première racine), (-1,5;-1,25) avec le bout de tangente horizontale, (-0,4;0) (deuxième racine), (0;1) et (3;19). Puis, on trace la courbe à main levée.

Exemple de la fonction tangente

La fonction tangente est définie par

$\tan {x}={\dfrac {\sin {x}}{\cos {x}}}$

Les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, c’est également une fonction périodique, il suffit donc de l'étudier sur un intervalle dont la largeur est la période. On ne connaît pas initialement la période de la tangente, on commence donc par prendre un intervalle de 2π, période du sinus et du cosinus ; prenons par exemple [-π, π].

Le cosinus s'annule pour des valeurs π/2 + k·π, et en ces valeurs, le sinus est non nul (il vaut ±1), donc en ces valeurs, la fonction tend vers ±∞.

Le sinus s'annule pour des valeurs k·π, et pour ces valeurs, le cosinus est non nul (il vaut ±1), donc la fonction s'annule pour ces valeurs.

Nous avons donc déterminé des asymptotes verticales π/2 + k·π, et des points de passage simples en k·π.

La dérivée vaut, d’après la loi de composition ((a/b)' = (a'b - ab' )/b²) :

$\tan 'x={\dfrac {\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}$

on voit donc que la fonction est toujours croissante, puisque sa dérivée est toujours positive, et que sa pente tend vers +∞ pour des valeurs de type π/2 + k·π, ce qui correspond aux asymtotes verticales.

La dérivée seconde vaut (avec 1/b' = -b'/b² et (c²)' = 2cc')

$\tan ''x=-{\dfrac {-2\cos x\cdot \sin x}{\cos ^{4}x}}={\dfrac {2\sin x}{\cos ^{3}x}}$

on voit que la dérivée seconde s'annule pour les valeurs k·π, il y a donc des points d'inflexion ; en ces points, la dérivée vaut 1.

On a donc le tableau de variation suivant :

Tableau de variation de p

x	-π		-π/2		0		π/2		π
tan'	1	+	+∞	+	1	+	+∞	+	1
tan	0	↗	+∞/-∞	↗	0	↗	+∞/-∞	↗	0

représentation graphique de la fonction tangente

Au vu de ce tableau, la fonction semble présenter une périodicité de π. On peut le vérifier simplement :

$\tan(x+\pi )={\dfrac {\sin(x+\pi )}{\cos(x+\pi )}}={\dfrac {-\sin(x)}{-\cos(x)}}=\tan(x)$

On peut donc restreindre l'intervalle de tracé à [-π/2;π/2]. On trace donc les asymptotes verticales x = π/2 + k·π, la tangente de pente 1 aux points d'inflexion (k·π, 0), puis on trace la fonction à main levée.