Étape 1
Nous établirons une relation de récurrence entre In+2 et In. Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n+2}&=\int _{0}^{1}x^{n+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}x^{n+1}x{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=\left[x^{n+1}{\frac {-1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{1}+{\frac {n+1}{3}}\int _{0}^{1}x^{n}(1-x^{2}){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n+1}{3}}\left(\int _{0}^{1}x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-\int _{0}^{1}x^{n+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n+1}{3}}(I_{n}-I_{n+2})\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3735c0e7f86aedaf793ea8b4ceb3f81c631f42)
Nous avons donc :
.
Étape 2
Il nous faut trouver une suite constante Wn s’exprimant en fonction de In, de In+1 et de n.
Cette suite est :
.
En effet :
.
La valeur de la constante est bien sûr alors donnée par :
.
Un calcul élémentaire donne alors :

.
On obtient donc :
.
On en déduit alors la relation :
.
Étape 3
Il nous faut encadrer le rapport :

par deux expressions en n tendant vers 1 en +∞.
On peut déjà remarquer que la suite
est positive et décroissante.
On a donc :
,
d'où
.
Nous pouvons donc conclure :
.
Étape 4
Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :
.
On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :
.
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