Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par une intégrale

Exercice 3-1

Trouver un équivalent de la suite d’intégrales dont le terme général est donné par :

$I_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$.

Solution

Étape 1

Nous établirons une relation de récurrence entre I_n+2 et I_n. Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.

$\begin{array}{cc}{I}_{n+2}& ={\int }_0^1{x}^{n+2}\sqrt{1-x^2}\\ & ={\int }_0^1{x}^{n+1}x\sqrt{1-x^2}\\ & ={[x^{n+1}\frac{-1}{3}(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}]}_0^1+\frac{n+1}{3}{\int }_0^1{x}^n(1-x^2)\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{n+1}{3}({\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}-{\int }_0^1{x}^{n+2}\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}x\\ & =\frac{n+1}{3}(I_n-I_{n+2})\mathrm{d}x.\end{array}$

Nous avons donc :

$\mathrm{\forall }n{I}_{n+2}=\frac{n+1}{n+4}{I}_n$.

Étape 2

Il nous faut trouver une suite constante W_n s’exprimant en fonction de I_n, de I_n+1 et de n.

Cette suite est :

$W_n=(n+1)(n+2)(n+3)I_n{I}_{n+1}$.

En effet :

$W_{n+1}=(n+2)(n+3)(n+4)I_{n+1}{I}_{n+2}=(n+2)(n+3)(n+4)I_{n+1}\frac{n+1}{n+4}{I}_n=W_n$.

La valeur de la constante est bien sûr alors donnée par :

$W_0=(0+1)(0+2)(0+3)I_0{I}_{0+1}=6I_0{I}_1$.

Un calcul élémentaire donne alors :

$I_0={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}$

$I_1={\int }_0^{1}x\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$.

On obtient donc :

$W_0=6I_0.I_1=\frac{\pi }{2}$.

On en déduit alors la relation :

$\mathrm{\forall }n(n+1)(n+2)(n+3)I_n{I}_{n+1}=\frac{\pi }{2}$.

Étape 3

Il nous faut encadrer le rapport :

$\frac{I_{n+1}}{I_n}$

par deux expressions en n tendant vers 1 en +∞.

On peut déjà remarquer que la suite $(I_n)$ est positive et décroissante.

On a donc :

$0<I_{n+2}<I_{n+1}<I_n$,

d'où

$\frac{n+1}{n+4}=\frac{I_{n+2}}{I_n}<\frac{I_{n+1}}{I_n}<1$.

Nous pouvons donc conclure :

$I_{n+1}\sim I_n$.

Étape 4

Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :

$I_n^2\sim \frac{\pi }{2n^3}$.

On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :

${\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\sim \sqrt{\frac{\pi }{2n^3}}$.

 

Exercice 3-2

Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{n{\mathrm{e}}^{-x}}{1+(nx{)}^2}\mathrm{d}x$.

Solution

Par changement de variable puis convergence dominée (ou monotone),

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{n{\mathrm{e}}^{-x}}{1+(nx{)}^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{n}}}{1+t^2}\mathrm{d}t\to {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{2}$.

 

Exercice 3-3

Donner un équivalent de $I_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-n{x}^2}}{1+x^2}\mathrm{d}x$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

Solution

Par changement de variable puis convergence dominée (ou monotone),

$\sqrt{n}{I}_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t^2}}{1+(t/\sqrt{n}{)}^2}\mathrm{d}t\to {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ (Intégrale de Gauss) donc $I_n\sim \frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{n}}$.