Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par une intégrale

Exercice 3-1

Trouver un équivalent de la suite d’intégrales dont le terme général est donné par :

$I_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$.

Solution

Étape 1

Nous établirons une relation de récurrence entre I_n+2 et I_n. Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.

${\begin{aligned}I_{n+2}&=\int _{0}^{1}x^{n+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}x^{n+1}x{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=\left[x^{n+1}{\frac {-1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{1}+{\frac {n+1}{3}}\int _{0}^{1}x^{n}(1-x^{2}){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n+1}{3}}\left(\int _{0}^{1}x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-\int _{0}^{1}x^{n+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n+1}{3}}(I_{n}-I_{n+2})\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Nous avons donc :

$\forall n\qquad I_{n+2}={\frac {n+1}{n+4}}I_{n}$.

Étape 2

Il nous faut trouver une suite constante W_n s’exprimant en fonction de I_n, de I_n+1 et de n.

Cette suite est :

$W_{n}=(n+1)(n+2)(n+3)I_{n}I_{n+1}$.

En effet :

$W_{n+1}=(n+2)(n+3)(n+4)I_{n+1}I_{n+2}=(n+2)(n+3)(n+4)I_{n+1}{\frac {n+1}{n+4}}I_{n}=W_{n}$.

La valeur de la constante est bien sûr alors donnée par :

$W_{0}=(0+1)(0+2)(0+3)I_{0}I_{0+1}=6I_{0}I_{1}$.

Un calcul élémentaire donne alors :

$I_{0}=\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}$

$I_{1}=\int _{0}^{1}x{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}$.

On obtient donc :

$W_{0}=6I_{0}.I_{1}={\frac {\pi }{2}}$.

On en déduit alors la relation :

$\forall n\qquad (n+1)(n+2)(n+3)I_{n}I_{n+1}={\frac {\pi }{2}}$.

Étape 3

Il nous faut encadrer le rapport :

${\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}$

par deux expressions en n tendant vers 1 en +∞.

On peut déjà remarquer que la suite $(I_{n})$ est positive et décroissante.

On a donc :

$0<I_{n+2}<I_{n+1}<I_{n}$,

d'où

${\frac {n+1}{n+4}}={\frac {I_{n+2}}{I_{n}}}<{\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}<1$.

Nous pouvons donc conclure :

$I_{n+1}\sim I_{n}$.

Étape 4

Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :

$I_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2n^{3}}}$.

On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :

$\int _{0}^{1}x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n^{3}}}}$.

 

Exercice 3-2

Déterminer $\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{+\infty }{\frac {n\operatorname {e} ^{-x}}{1+(nx)^{2}}}\,\mathrm {d} x$.

Solution

Par changement de variable puis convergence dominée (ou monotone),

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {n\operatorname {e} ^{-x}}{1+(nx)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{n}}}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\to \int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}={\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 3-3

Donner un équivalent de $I_{n}=\int _{0}^{+\infty }{{\frac {\mathrm {e} ^{-nx^{2}}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$ quand $n\to +\infty$.

Solution

Par changement de variable puis convergence dominée (ou monotone),

${\sqrt {n}}\,I_{n}=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t^{2}}}{1+(t/{\sqrt {n}})^{2}}}\,\mathrm {d} t\to \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$ (Intégrale de Gauss) donc $I_{n}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {n}}}}$.