Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Équations sans second membre

Résoudre sur $\mathbb {R}$ les équations suivantes :

1. $y''+2y'-3y=0$
2. $9y''-6y'+y=0$
3. $4y''+4y'+y=0$
4. $9y''-6y'=0$
5. $y''-5y'+6y=0$
6. $y''+\omega ^{2}y=0$
7. $y''-4y'+4y=0$

Solution

1. L'équation est sous forme normale.

Équation caractéristique :

$r^{2}+2r-3=0\Leftrightarrow (r-1)(r+3)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente)

$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-3$.

Donc $y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

2. Mettons l'équation sous forme normale : $y''-{\frac {2}{3}}\,y'+{\frac {1}{9}}\,y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-{\frac {2}{3}}\,r+{\frac {1}{9}}=0\Leftrightarrow \left(r-{\frac {1}{3}}\right)^{2}=0$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r={\frac {1}{3}}$ (solution double).

Donc $y=\left(\lambda \,x+\mu \right)\,e^{\frac {x}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

3. Mettons l'équation sous forme normale : $y''+y'+{\frac {1}{4}}\,y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}+r+{\frac {1}{4}}=0\Leftrightarrow \left(r+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=0$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=-{\frac {1}{2}}$ (solution double).

Donc $y=\left(\lambda \,x+\mu \right)\,e^{-{\frac {x}{2}}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

4. Mettons l'équation sous forme normale : $y''-{\frac {2}{3}}\,y'=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-{\frac {2}{3}}r=0\Leftrightarrow r\left(r-{\frac {2}{3}}\right)=0$

$\Leftrightarrow r=0$ ou $r={\frac {2}{3}}$.

Donc $y=\lambda +\mu \,e^{{\frac {2}{3}}x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

5. $r^{2}-5r+6=0\Leftrightarrow r=2$ ou $3$, d'où $y_{\lambda ,\mu }(x)=\lambda \mu \operatorname {e} ^{2x}+\mu \operatorname {e} ^{3x}$ ($\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$).

6. $r^{2}+\omega ^{2}=0\Leftrightarrow r=\pm \mathrm {i} \omega$, d'où $y_{\lambda ,\mu }(x)=\lambda \cos \omega x+\mu \sin \omega x$ ($\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$).

7. $r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}$, d'où $y_{\lambda ,\mu }(x)=(\lambda x+\mu )\mu \operatorname {e} ^{2x}$ ($\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$).

 

Trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb {R}$ vérifiant : $f'(t)-f(t)=3\int _{0}^{t}f(s)\,\mathrm {d} s$ et $f(0)=1$.

Solution

Les solutions sont les fonctions $f$ C^∞ telles que $f''-f'=3f$, $f'(0)-f(0)=0$ et $f(0)=1$.

Équation caractéristique : $r^{2}-r-3=0\Leftrightarrow r=r_{\pm }:={\frac {1\pm {\sqrt {13}}}{2}}$.

Il y a donc une seule solution : $f(t)=\lambda \operatorname {e} ^{r_{+}t}+\mu \operatorname {e} ^{r_{-}t}$ avec $\lambda ,\mu$ déterminés par :

$f(0)=f'(0)=1\Leftrightarrow \lambda +\mu =\lambda r_{+}+\mu r_{-}=1\Leftrightarrow \lambda ={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {13}}}\right),\;\mu ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {13}}}\right)$.

 

Déterminer l'ensemble des couples $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ tels que toutes les solutions sur $\left]0,+\infty \right[$ de $y''+ay'+by=0$ soient bornées.

Solution

Il faut et il suffit que $\operatorname {e} ^{rx}$ soit bornée sur $\left]0,+\infty \right[$ pour chaque racine $r$ de $r^{2}+ar+b=0$, ainsi que $x\operatorname {e} ^{rx}$ si $r$ est racine double, c'est-à-dire que $\mathrm {Re} (r)\leq 0$, et même $<0$ si $r$ est racine double.

• Si $a^{2}-4b>0$, il faut donc que les deux racines soient $\leq 0$, c'est-à-dire $a,b\geq 0$.
• Si $a^{2}=4b$, $r={-a \over 2}<0$.
• Si $a^{2}-4b<0$, $\mathrm {Re} (r)={-a \over 2}\leq 0$.

Les couples solutions sont donc les $(a,b)$ avec

$a>0$ et $0\leq b\leq {a^{2} \over 4}$, ou $a\geq 0$ et $b>{a^{2} \over 4}$,

c'est-à-dire $a>0$ et $b\geq 0$ ou $a=0$ et $b>0$,

c'est-à-dire $a,b\geq 0$ avec $a$ ou $b\neq 0$.

 

Équations avec second membre

1. $y''-2y'-3y=5$
2. $y''+6y'+10y=4$
3. $y''-4y=t+1$
4. $y''-y=5x+2$
5. $y''-2y'+y=t^{2}-t+1$
6. $y''+y'-2y=t-1$
7. $y''+y=|x|+1$
8. $y''-2y'+y=\operatorname {e} ^{|x|}$
9. $y''-4y'+4y=\left(x^{2}+1\right)\operatorname {e} ^{x}$
10. $y''+4y'-5y=x+1$
11. $y''+4y'-5y=2\operatorname {e} ^{x}$
12. $y''+y=\cos ^{2}x$.

Solution

Les équations sont sous forme normale.

1.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-2y'-3y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-2r-3=0\Leftrightarrow (r+1)(r-3)=0\Leftrightarrow r=-1$ ou $r=3$.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-x}+\mu \operatorname {e} ^{3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-2y'-3y=5$.

$y=-{\frac {5}{3}}$ est solution constante évidente.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-x}+\mu \operatorname {e} ^{3x}-{\frac {5}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

2.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+6y'+10y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}+6r+10=0\Leftrightarrow r=-3+i$ ou $r=-3-i$.

Donc $y=\operatorname {e} ^{-3x}\left(\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x\right),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+6y'+10y=4$

$y={\frac {4}{10}}$ est solution constante évidente.

Donc $y=\operatorname {e} ^{-3x}\left(\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x\right)+{\frac {4}{10}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

3.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-4y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}-4=0\Leftrightarrow r=\pm 2$

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{2x}+\mu \operatorname {e} ^{-2x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-4y=t+1$.

$y=-{\frac {t+1}{4}}$ est solution évidente.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{2x}+\mu \operatorname {e} ^{-2x}-{\frac {x+1}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

4.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-1=0\Leftrightarrow r=\pm 1$.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-y=5x+2$

$y=-(5x+2)$ est solution évidente.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x}-5x-2,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

5.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-2y'+y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-2r+1=0\Leftrightarrow \left(r-1\right)^{2}=0$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=1$ (solution double).

Donc $y=\left(\lambda \,t+\mu \right)\operatorname {e} ^{t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-2y'+y=t^{2}-t+1$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at^{2}+bt+c$

$y_{1}'=2at+b$

$y_{1}''=2a$

Donc $y_{1}''-2y_{1}'+y_{1}=t^{2}-t+1\Leftrightarrow (2a)+(-4at-2b)+(at^{2}+bt+c)=t^{2}-t+1$

$\Leftrightarrow at^{2}+(b-4a)t+(2a-2b+c)=t^{2}-t+1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-4a=-1\\2a-2b+c=1\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=3\\c=5\end{cases}}$

Une solution particulière est donc $y_{1}=t^{2}+3t+5$.

Donc $y=\left(\lambda \,t+\mu \right)e^{t}+t^{2}+3t+5,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

6.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+y'-2y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+r-2=0\Leftrightarrow (r-1)(r+2)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente)

$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-2$.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+y'-2y=t-1$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at+b$

$y_{1}'=a$:$y_{1}''=0$

Donc $y''+y'-2y=t-1\Leftrightarrow 0+a-2at-2b=t-1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}-2a=1\\a-2b=-1\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=-{\frac {1}{2}}\\b={\frac {1}{4}}.\end{cases}}$

Une solution particulière est donc $y_{1}=-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{4}}$.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t}-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

7. Sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, $y=x+1+z$ avec $z''+z=0$ donc $z=\lambda _{+}\cos x+\mu _{+}\sin x$. De même sur $\mathbb {R} _{-}^{*}$, $y=-x+1+\lambda _{-}\cos x+\mu _{-}\sin x$.

$1+\lambda _{+}=y(0^{+})=y(0^{-})=1+\lambda _{-}=:1+\alpha$, $1+\mu _{+}=y'(0^{+})=y'(0^{-})=-1+\mu _{-}=:\beta$ : sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, $y=x+1+\alpha \cos x+(\beta -1)\sin x$ ; sur $\mathbb {R} _{-}^{*}$, $y=-x+1+\alpha \cos x+(\beta +1)\sin x$.

Ainsi $y$ est de classe C¹ sur $\mathbb {R}$ et vérifie, sur $\mathbb {R} ^{*}$, $y''=-y+|x|+1$ donc $\lim _{0}y''=-y(0)+1$, donc $y''(0)=-y(0)+1$.

8. Sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, $y=\operatorname {e} ^{x}u$ avec $u''=1$ donc $u={x^{2} \over 2}+\lambda _{+}x+\mu _{+}$. De même sur $\mathbb {R} _{-}^{*}$, $y=\operatorname {e} ^{-x}v$ avec $v''-4v'+4v=1$ donc $v=1+\operatorname {e} ^{2x}(\lambda _{-}x+\mu _{-})$.

$y(0^{+})=u(0)=\mu _{+}$, $y(0^{-})=v(0)=1+\mu _{-}=:\alpha$

$y'(0^{+})=u'(0)+u(0)=\lambda _{+}+\mu _{+}$, $y'(0^{-})=v'(0)-v(0)=\lambda _{-}+\mu _{-}-1=:\beta$ donc $\mu _{+}=\alpha$, $\mu _{-}=\alpha -1$, $\lambda _{+}=\beta -\alpha$, $\lambda _{-}=\beta -\alpha +2$ : en posant $\gamma =\beta -\alpha$, sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, $y=\operatorname {e} ^{x}({x^{2} \over 2}+\gamma x+\alpha )$ et sur $\mathbb {R} _{-}^{*}$, $y=\operatorname {e} ^{-x}(1+\operatorname {e} ^{2x}((\gamma +2)x+(\alpha -1)))$.

Ainsi $y$ est de classe C¹ sur $\mathbb {R}$ et vérifie, sur $\mathbb {R} ^{*}$, $y''=\operatorname {e} ^{|x|}+2y'-y$ donc $\lim _{0}y''=1+2\beta -\alpha$, donc $y''(0)=1+2y'(0)-y(0)$.

9. $y=z\operatorname {e} ^{x}$ avec $z''-2z'+z=x^{2}+1$ donc $z=x^{2}+4x+7+(\lambda x+\mu )\operatorname {e} ^{x}$ ($\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$).

10. $y=\lambda \operatorname {e} ^{-5x}+\mu \operatorname {e} ^{x}+ax+b$ ($\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$) avec $x+1=4a-5(ax+b)$ donc $a=-{\frac {1}{5}}$ et $b=-{\frac {9}{25}}$.

11. $y=z\operatorname {e} ^{x}$ avec $z''+6z'=2$ donc $z={x \over 3}+\lambda \operatorname {e} ^{-6x}+\mu$ ($\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$) et $y=\lambda \operatorname {e} ^{-5x}+\left({\frac {x}{3}}+\mu \right)\operatorname {e} ^{x}$.

12. $y''+y={1+\cos 2x \over 2}$ donc $y={1 \over 2}+v$ avec $v''+v={\cos 2x \over 2}=u''+u$ pour $u={-\cos 2x \over 6}$, donc $v=u+z$ avec $z''+z=0$, donc $z=\lambda \cos x+\mu \sin x$.

 

Résoudre $y''-4y'+3y=g_{i}$, pour

1. $g_{1}(x)=x+1$ ;
2. $g_{2}(x)=\operatorname {e} ^{2x}$ ;
3. $g_{3}(x)=\operatorname {e} ^{x}$ ;
4. $g_{4}(x)=2x+3\operatorname {e} ^{2x}-5\operatorname {e} ^{x}+2$.

Solution

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-4y'+3y=0$.

Équation caractéristique : $r^{2}-4r+3=0\Leftrightarrow (r-2)^{2}=1\Leftrightarrow r=1$ ou $r=3$.

La solution générale de l'équation avec second membre est donc $y=y_{i}+\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$, où $y_{i}$ est une solution particulière.

1. $y_{1}=ax+b$, $0-4a+3(ax+b)=x+1\Leftrightarrow a={\frac {1}{3}},\;b={\frac {7}{9}}$ donc $y_{1}={\frac {3x+7}{9}}$.
2. $y_{2}=a\operatorname {e} ^{2x}$, $(8-8+3)a=1\Leftrightarrow a={\frac {1}{3}}$ donc $y_{2}={\frac {\operatorname {e} ^{2x}}{3}}$.
3. $y_{3}=ax\operatorname {e} ^{x}$, $(x+2-4(x+1)+3x)a=1\Leftrightarrow a=-{\frac {1}{2}}$ donc $y_{3}=-{\frac {x\operatorname {e} ^{x}}{2}}$.
4. $g_{4}=2g_{1}+3g_{2}-5g_{3}$ donc $y_{4}=2y_{1}+3y_{2}-5y_{3}$.

 

Résoudre $y''+2y'+4y=g_{i}$, pour

1. $g_{1}(x)=3$ ;
2. $g_{2}(x)=x\operatorname {e} ^{-2x}$ ;
3. $g_{3}(x)=\operatorname {e} ^{-x}\cos(x{\sqrt {3}})$.

Solution

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+2y'+4y=0$.

Équation caractéristique : $r^{2}+2r+4=0\Leftrightarrow (r+1)^{2}=-3\Leftrightarrow r=-1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

La solution générale de l'équation avec second membre est donc $y=y_{i}+\operatorname {e} ^{-x}(\lambda \cos(x{\sqrt {3}})+\mu \sin(x{\sqrt {3}})),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$, où $y_{i}$ est une solution particulière.

1. $y_{1}={\frac {3}{4}}$.
2. $y_{2}=(ax+b)\operatorname {e} ^{-2x}$, $(4ax+4b-4a)+2(-2ax-2b+a)+4(ax+b)=x\Leftrightarrow a={\frac {1}{4}},\,b={\frac {1}{8}}$ donc $y_{2}={\frac {(2x+1)\operatorname {e} ^{-2x}}{8}}$.
3. On pose d'abord (pour se débarrasser de l'exponentielle) $y_{3}=\operatorname {e} ^{-x}f(x)$, ce qui donne $\cos(x{\sqrt {3}})=(f''-2f'+f)+2(f'-f)+4f=f''+3f$, puis $f(x)=A(x)\cos(x{\sqrt {3}})+B(x)\sin(x{\sqrt {3}})$, ce qui donne $\cos(x{\sqrt {3}})=(A''+2B'{\sqrt {3}})\cos(x{\sqrt {3}})+(B''-2A'{\sqrt {3}})\sin(x{\sqrt {3}})$, puis (en imposant de plus $A''=B''=0$) $A'=0,\;B'={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ donc on peut choisir $y_{3}=\operatorname {e} ^{-x}{\frac {x\sin(x{\sqrt {3}})}{2{\sqrt {3}}}}$ (prévisible car on pouvait ici imposer $f$ paire et car on peut toujours supposer nuls les termes constants de $A$ et $B$).

 

Considérons l'équation différentielle $(E):x^{2}y''+4xy'+(2-x^{2})y=1$.

1. À quelle équation différentielle satisfait la fonction $u=x^{2}y$ ? En déduire, sur chacun des intervalles $\mathbb {R} _{-}$ et $\mathbb {R} _{+}$, les solutions de $(E)$.
2. Montrer qu'il existe une fonction $f$ et une seule définie sur $\mathbb {R}$ qui soit solution de $(E)$ (on pourra utiliser un développement de Taylor ou la règle de l'Hôpital).

Solution

1. $u'=2xy+x^{2}y'$ et $u''=2y+4xy'+x^{2}y''$ donc $(E)\Leftrightarrow u''-u=1\Leftrightarrow u(x)=-1+\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x}\Leftrightarrow y(x)={\frac {1}{x^{2}}}\left(-1+\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x}\right)$.
2. $y(x)={\frac {1}{x^{2}}}\left((-1+\lambda +\mu )+(\lambda -\mu )x+(\lambda +\mu )x^{2}/2+o(x^{2})\right)$ admet une limite finie en $0$ (à droite comme à gauche) si et seulement si $0=-1+\lambda +\mu =\lambda -\mu$ c'est-à-dire $\lambda =\mu ={\frac {1}{2}}$ et cette limite vaut alors ${\frac {\lambda +\mu }{2}}={\frac {1}{2}}$. La seule solution sur $\mathbb {R} ^{*}$ de $(E)$ qui soit continue en $0$ est donc $f(x)={\frac {\cosh x-1}{x^{2}}}$ (prolongée par $f(0)={\frac {1}{2}}$). En $0$, elle est non seulement continue mais deux fois dérivable (et l'e.d. est ainsi encore vérifiée en $x=0$) car pour $x\neq 0$, $y'(x)={\frac {1}{x^{2}}}\sinh x-{\frac {2}{x^{3}}}(-1+\cosh x)={\frac {1}{x^{2}}}\left(x+{\frac {x^{3}}{6}}+o(x^{3})\right)-{\frac {2}{x^{3}}}\left({\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+o(x^{4})\right)={\frac {x}{12}}+o(x)\Rightarrow f'(0)=0,\;f''(0)={\frac {1}{12}}$.
   C'est plus long par l'Hôpital :
   • $f'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {\cosh x-1}{x^{2}}}-{\frac {1}{2}}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cosh x-1-{\frac {x^{2}}{2}}}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sinh x-x}{3x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cosh x-1}{6x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sinh x}{6}}=0$, puis
   • $f''(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {1}{x^{2}}}\sinh x-{\frac {2}{x^{3}}}(-1+\cosh x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\sinh x+2-2\cosh x}{x^{4}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cosh x-\sinh x}{4x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\sinh x}{12x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sinh x}{12x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cosh x}{12}}={\frac {1}{12}}$.

 

Avec conditions initiales

Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données.

1. $y''+4y'-5y=10,\;y(0)=4,\;y'(0)=0$ ;
2. $y''+4y'+5y=10x-2,\;f(0)=1,\;y'(0)=1$ ;
3. $2y''-5y'-3y=-3t^{2}-10t+4,\;y(0)=0,\;y'(0)=-1$.
4. $y''+\omega ^{2}y=\sin(\omega 't),\;y(0)=y'(0)=0$, pour $\omega ,\omega '>0$ ;
5. $my''+\varepsilon y'+ky=-mg,\;y(0)=y_{0},\;y'(0)=0$, pour $k,m,g>0$ et $0<\varepsilon <2{\sqrt {km}}$, et déterminer $\lim _{+\infty }y$ ;
6. $y''-2y'-8y=0,\;y(0)=0,\;y'(0)=1$, et déterminer $\lim _{+\infty }y$.

Solution

1. L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0$.

  Équation caractéristique :

  $r^{2}+4r-5=0\Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

  $\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-5$.

  Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-5t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'-5y=10$

  $y=-2$ est solution constante évidente.

  Donc $y$ est de la forme $y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-5t}-2,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=4\\y'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu -2=4\\\lambda -5\mu =0\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}\mu =1\\\lambda =5\end{cases}}$

Donc $y=5\operatorname {e} ^{t}+\operatorname {e} ^{-5t}-2$.

2. L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'+5y=0$.

  Équation caractéristique :

  $r^{2}+4r+5=0\Leftrightarrow (r+2)^{2}+1=0$ (en reconnaissant le début d'un carré parfait)

  $\Leftrightarrow r=-2+i$ ou $r=-2-i$.

  Donc $y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(\lambda \cos x+\mu \sin x\right),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'+5y=10x-2$.

  On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=ax+b$

  $y_{1}'=a$

  $y_{1}''=0$

  Donc $y_{1}''+4y_{1}'+5y_{1}=10x-2\Leftrightarrow 4a+5ax+5b=10x-2$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}5a=10\\4a+5b=-2\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}a=2\\b=-2\end{cases}}$

  Une solution particulière est donc $y_{1}=2x-2$.

  Donc $y$ est de la forme $y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(\lambda \cos x+\mu \sin x\right)+2(x-1),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda -2=1\\-2\lambda +\mu +2=1\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =3\\\mu =5\end{cases}}$

Donc $y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(3\cos x+5\sin x\right)+2(x-1)$.

3. Mettons l'équation sous forme normale : $y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y={\frac {-3t^{2}}{2}}-5t+2$.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y=0$

  Équation caractéristique :

  $r^{2}-{\frac {5}{2}}r-{\frac {3}{2}}=0\Leftrightarrow (r-3)(r+{\frac {1}{2}})=0$ (en voyant que 3 est solution évidente par exemple)

  $\Leftrightarrow r=3$ ou $r=-{\frac {1}{2}}$.

  Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{3t}+\mu \operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y={\frac {-3t^{2}}{2}}-5t+2$

  $y_{1}=t^{2}$ est une solution particulière relativement évidente.

  Donc $y$ est de la forme $y=\lambda \operatorname {e} ^{3t}+\mu \operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t}+t^{2},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=-1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu =0\\3\lambda -{\frac {1}{2}}\mu =-1\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =-{\frac {2}{7}}\\\mu ={\frac {2}{7}}\end{cases}}$

Donc $y=-{\frac {2}{7}}\operatorname {e} ^{3t}+{\frac {2}{7}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t}+t^{2}$.

4.

• Équation homogène associée : $y''+\omega ^{2}y=0$.

  Donc $y=\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
  • Premier cas : si $\omega '\neq \omega$.

    Une fonction de la forme $y=a\cos(\omega 't)+b\sin(\omega 't)$ est solution si et seulement si $-a\omega '^{2}+\omega ^{2}=0$ et $-b\omega '^{2}+\omega ^{2}=1$.

    Donc $y$ est de la forme $y=\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)+{\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}\cos(\omega 't)+{\frac {\omega ^{2}-1}{{\omega '}^{2}}}\sin(\omega 't),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

  • Second cas : si $\omega '=\omega$.

    Une fonction de la forme $y=at\cos(\omega t)+bt\sin(\omega t)$ est solution si et seulement si $2b\omega =0$ et $-2a\omega =1$.

    Donc $y$ est de la forme $y=\left(\lambda -{\frac {t}{2\omega }}\right)\cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :
  • Premier cas : si $\omega '\neq \omega$

    $\lambda +{\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}=\omega \mu +{\frac {\omega ^{2}-1}{\omega '}}=0$.

    Donc $y={\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}{\Bigl (}\cos(\omega 't)-\cos(\omega t){\Bigr )}+{\frac {\omega ^{2}-1}{{\omega '}^{2}}}\left(\sin(\omega 't)-{\frac {\omega '}{\omega }}\sin(\omega t)\right)$.

  • Second cas : si $\omega '=\omega$.

    $\lambda =-{\frac {1}{2\omega }}+\omega \mu =0$.

    Donc $y=-{\frac {t}{2\omega }}\cos(\omega t)+{\frac {1}{2\omega ^{2}}}\sin(\omega t)$.

5. Mettons l'équation sous forme normale : $y''+{\frac {\varepsilon }{m}}y'+{\frac {k}{m}}y=-g$.

• Équation homogène associée : $y''+{\frac {\varepsilon }{m}}y'+{\frac {k}{m}}y=0$

  donc $y=\operatorname {e} ^{-{\frac {\varepsilon }{2m}}t}\left(\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right),\,\omega :={\frac {\sqrt {4mk-\varepsilon ^{2}}}{2m}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

  une solution évidente est la fonction constante $y=-{\frac {mg}{k}}$.

  Donc $y$ est de la forme $y=\operatorname {e} ^{-{\frac {\varepsilon }{2m}}t}\left(\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right)-{\frac {mg}{k}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$, et $\lim _{+\infty }y=-{\frac {mg}{k}}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=y_{0}\\y'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda -{\frac {mg}{k}}=y_{0}\\-{\frac {\varepsilon }{2m}}\lambda +\mu \omega =0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =y_{0}+{\frac {mg}{k}}\\\mu ={\frac {\varepsilon \lambda }{2m\omega }}.\end{cases}}$

6. Les solutions de l'équation caractéristique $r^{2}-2r-8=0$ sont $r=-2$ et $r=1$, donc

$(E_{6})\Leftrightarrow y(x)=\lambda \operatorname {e} ^{-2x}+\mu \operatorname {e} ^{4x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

Alors, $y(0)=0,\;y'(0)=1\Leftrightarrow \lambda +\mu =0,\;-2\lambda +4\mu =1\Leftrightarrow \lambda =-{\frac {1}{6}},\;mu={\frac {1}{6}}$

donc la solution est $y(x)={\frac {\operatorname {e} ^{4x}-\operatorname {e} ^{-2x}}{6}}$, et $\lim _{+\infty }y=+\infty$.

 

Soient $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ fixés. Montrer que pour tout $m\in \left]0,2\right[$, l'équation

$y''+(1-2m)y'-2my=e^{2x},y(0)=\alpha ,y'(0)=\beta$

admet une unique solution $y_{m}$.

Établir

$\lim _{m\to 1}y_{m}(x)=y_{1}(x)$.

Solution

$y_{m}=\operatorname {e} ^{2x}v_{m},v_{m}''+(5-2m)v_{m}'+6(1-m)v_{m}=1$, $v_{m}(0)=a$, $v_{m}'(0)=b$ ($\alpha =a,\beta =a+2b$).

Posons $u_{h}=v_{m}$ pour $m=1+h$ :

$u''_{h}+(3-2h)u'_{h}-6hu_{h}=1,u_{h}(0)=a,u'_{h}(0)=b$.

Résolvons l'équation pour $m=1$ c'est-à-dire $h=0$ :

$u''_{0}+3u'_{0}=1,u_{0}(0)=a,u'_{0}(0)=b\Leftrightarrow u'_{0}(x)={\frac {1}{3}}+\left(b-{\frac {1}{3}}\right)\operatorname {e} ^{-3x},u_{0}(0)=a\Leftrightarrow u_{0}(x)={\frac {x}{3}}+\left({\frac {1}{9}}-{\frac {b}{3}}\right)(\operatorname {e} ^{-3x}-1)+a=\left({\frac {1}{9}}-{\frac {b}{3}}\right)\operatorname {e} ^{-3x}+{x+c \over 3}-{\frac {1}{9}}$ avec $c=b+3a$.

Pour $h\neq 0$, cherchons $u_{h}$ sous la forme $u_{0}+w_{h}$ : $w''_{h}+3w'_{h}=2h(f+w'_{h}+3w_{h}),w_{h}(0)=w'_{h}(0)=0$ en posant $f=u'_{0}+3u_{0}$.

On cherche donc d'abord $z_{h}$ tel que $z'_{h}=2h(f+z_{h}),z_{h}(0)=0$, puis $w_{h}$ tel que $w'_{h}+3w_{h}=z_{h},w_{h}(0)=0$ ($\Rightarrow w'_{h}(0)=0$).

Par la méthode de la variation de la constante, on cherche $z_{h}(x)$ sous la forme $\operatorname {e} ^{2hx}\lambda _{h}(x)$ :

$\lambda '_{h}(x)=\operatorname {e} ^{-2hx}2hf(x),\lambda _{h}(0)=0\Leftrightarrow \lambda _{h}(x)=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{-2ht}2hf(t)\,\mathrm {d} t$.

De même, on cherche $w_{h}(y)$ sous la forme $\operatorname {e} ^{-3y}\mu _{h}(y)$ : $\mu '_{h}(y)=\operatorname {e} ^{3y}z_{h}(y),\mu _{h}(0)=0\Leftrightarrow \mu _{h}(y)=\int _{0}^{y}\operatorname {e} ^{3x}z_{h}(x)\,\mathrm {d} x$. D'où l'existence et l'unicité de $\lambda _{h},\mu _{h},w_{h},u_{h},v_{m},y_{m}$.

Pour établir $\lim _{m\to 1}y_{m}(x)=y_{1}(x)$, il suffit de montrer que $\lim _{h\to 0}\mu _{h}(y)=0$. On peut le faire sans expliciter les solutions : soit $M_{x}$ le max de $|f|$ sur $[0,x]$, alors

$|\lambda _{h}(x)|\leq 2|h|M_{x}|\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{-2ht}\,\mathrm {d} t|=M_{x}|\operatorname {e} ^{-2hx}-1|$, donc

$|z_{h}(x)|\leq M_{x}|1-\operatorname {e} ^{2hx}|$, donc

$|\mu _{h}(y)|\leq M_{y}|\int _{0}^{y}\operatorname {e} ^{3x}(1-e^{2hx})\,\mathrm {d} x|=M_{y}|f_{y}(h)-f_{0}(h)|$, en posant

$f_{y}(h)={\operatorname {e} ^{3+2hy}-1 \over 3+2h}$. Quand $h\to 0$, $f_{y}(h)-f_{y}(0)$ est équivalent à $hf_{y}'(0)$, donc tend vers $0$.

Explicitons quand même les solutions : $f'=1$, $f(0)=c$, donc $f(t)=c+t$, donc $\lambda _{h}(x)=2h\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{-2ht}(c+t)\,\mathrm {d} t=(1+2hc){1-\operatorname {e} ^{-2hx} \over 2h}-xe^{-2hx}$, donc

$z_{h}(x)=(c+{1 \over 2h})(\operatorname {e} ^{2hx}-1)-x$, donc

$\mu _{h}(y)=\int _{0}^{y}\left(c+{\frac {1}{2h}}\right)(\operatorname {e} ^{(3+2h)x}-\operatorname {e} ^{3x})-x\operatorname {e} ^{3x}\,\mathrm {d} x={1+2hc \over 2h}\left({\operatorname {e} ^{(3+2h)y}-1 \over 3+2h}-{\operatorname {e} ^{3y}-1 \over 3}\right)-{y\operatorname {e} ^{3y} \over 3}+{\operatorname {e} ^{3y}-1 \over 9}={1+2hc \over 2h(3+2h)}\operatorname {e} ^{(3+2h)y}+\left({\frac {1}{9}}-{1+2hc \over 6h}\right)\operatorname {e} ^{3y}-{y\operatorname {e} ^{3y} \over 3}+{1+2hc \over 3(3+2h)}-{\frac {1}{9}}$, donc

$w_{h}(y)={1+2hc \over 2h(3+2h)}\operatorname {e} ^{2hy}+{\frac {1}{9}}-{1+2hc \over 6h}-{\frac {y}{3}}+\left({1+2hc \over 3(3+2h)}-{\frac {1}{9}}\right)\operatorname {e} ^{-3y}$, donc

$u_{h}(x)=u_{0}(x)+w_{h}(x)={1-3b+6ha \over 3(3+2h)}\operatorname {e} ^{-3x}+{1+2hc \over 2h(3+2h)}\operatorname {e} ^{2hx}-{1 \over 6h}$

(on retrouve le même résultat en résolvant directement $u''_{h}+(3-2h)u'_{h}-6hu_{h}=1,u_{h}(0)=a,u'_{h}(0)=b$).

On vérifie directement que $u_{h}(x)\to u_{0}(x)$ quand $h\to 0$ :

${1-3b+6ha \over 3(3+2h)}\operatorname {e} ^{-3x}\to \left({\frac {1}{9}}-{\frac {b}{3}}\right)\operatorname {e} ^{-3x}$ et

${1+2hc \over 2h(3+2h)}\operatorname {e} ^{2hx}-{1 \over 6h}={g_{y}(2h)-g_{y}(0) \over 2h}\to g'_{y}(0)$

avec $g_{y}(u)={(1+cu)\operatorname {e} ^{xu} \over 3+u}$ donc $g'_{y}(0)={x+c \over 3}-{\frac {1}{9}}$.

 

Problème

1. Résoudre l'équation différentielle :

   $y''+4y=0$.

2. Déterminer la solution particulière $f$ de la variable t vérifiant les conditions $f(0)=1$ et $f\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {3}}$.
3. Déterminer les réels $K>0$, $\omega >0$ et $\phi \in \left]-\pi ,\pi \right]$ tels que f(t) s'écrive :

   $f(t)=K\cos(\omega \,t-\phi )$.

4. Résoudre, dans $\mathbb {R}$, l'équation $f(t)=-{\sqrt {2}}$.

Solution

1. L'équation est sous forme normale et sans second membre.

Équation caractéristique : $r^{2}+4=0\Leftrightarrow r=\pm 2i$.

Donc $y=\lambda \,\cos(2t)+\mu \,\sin(2t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

2. Détermination de $\lambda$ et de $\mu$ :

${\begin{cases}f(0)=1\\f\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {3}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =1\\\mu ={\sqrt {3}}.\end{cases}}$

Donc $f(t)=\cos(2t)+{\sqrt {3}}\,\sin(2t)$.

3. ${\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}=2$ et $\arctan {\frac {\sqrt {3}}{1}}={\frac {\pi }{3}}$

donc $f(t)=\cos(2t)+{\sqrt {3}}\,\sin(2t)=2\cos \left(2t-{\frac {\pi }{3}}\right)$.

4. $f(t)=-{\sqrt {2}}\Leftrightarrow \cos \left(2t-{\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}$

$\Leftrightarrow 2t-{\frac {\pi }{3}}\equiv {\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ ou $2t-{\frac {\pi }{3}}\equiv -{\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow t\equiv {\frac {13\pi }{24}}{\bmod {\pi }}$ ou $t\equiv -{\frac {5\pi }{24}}{\bmod {\pi }}$.

Donc $S=\left\{{\frac {13\,\pi }{24}}+k\pi ,-{\frac {5\pi }{24}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {R} \right\}$.

 

Problème avec conditions au bord

Soit $\lambda \in \mathbb {R}$. Résoudre le problème :

$u''+\lambda u=0,\quad u(0)=0,\quad u(\pi )=0$.

Solution

Les solutions de $u''+\lambda u=0$ sont :

• si $\lambda <0$ : $u(t)=A\mathrm {e} ^{t{\sqrt {-\lambda }}}+B\mathrm {e} ^{-t{\sqrt {-\lambda }}},\quad A,B\in \mathbb {R}$ ;
• si $\lambda =0$ : $u(t)=Ct+D,\quad C,D\in \mathbb {R}$ ;
• si $\lambda >0$ : $u(t)=E\cos \left(t{\sqrt {\lambda }}\right)+F\sin \left(t{\sqrt {\lambda }}\right),\quad E,F\in \mathbb {R}$.

Les deux conditions $u(0)=0,\quad u(\pi )=0$ sont alors équivalentes à :

• si $\lambda <0$ : $A=B=0$ ;
• si $\lambda =0$ : $C=D=0$ ;
• si $\lambda >0$ : $E=0,\quad F\sin \left(\pi {\sqrt {\lambda }}\right)=0$.

La seule solution est donc en général $u=0$, sauf lorsque $\lambda =n^{2}$ avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$, auquel cas les solutions sont $u(t)=F\sin \left(nt\right),\quad F\in \mathbb {R}$.

 

Avec des exponentielles

Résoudre :

1. $y''-3y'+2y=\operatorname {e} ^{-t}$ ;
2. $y''+3y'-4y=\operatorname {e} ^{2x}$ ;
3. $y''+2y'+y=2\operatorname {e} ^{-x}$ ;
4. $y''-y'+y=2x^{2}\operatorname {e} ^{-x}$.

Solution

1. L'équation homogène $z''-3z'+2z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(t\right):=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{2t}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):={\frac {1}{6}}\operatorname {e} ^{-t}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

2. L'équation homogène $z''+3z'-4z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-4x}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):={\frac {1}{6}}\operatorname {e} ^{2x}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

3. L'équation homogène $z''+2z'+z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\left(\lambda x+\mu \right)\operatorname {e} ^{-x}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):=x^{2}\operatorname {e} ^{-x}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

4. L'équation homogène $z''+2z'+z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\left(\lambda \cos \left(x{\sqrt {3}}/2\right)+\mu \sin \left(x{\sqrt {3}}/2\right)\right)\operatorname {e} ^{x/2}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):={\frac {6x^{2}+12x+8}{9}}\operatorname {e} ^{-x}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

 

Avec des sinus et cosinus

Intégrer l'équation $y''+4y=\sin t$.

Solution

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y=0$.

Équation caractéristique : $r^{2}+4=0\Leftrightarrow r=\pm 2i$.

Donc $y=\lambda \cos(2t)+\mu \sin(2t),(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

on écrit $\sin t=\Im \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$

et l'on cherche une solution particulière sous la forme $z_{1}=a\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$ solution de $y''+4y=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

$z_{1}'=a\mathrm {i} \operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$, $z_{1}''=-a\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

Donc $y''+4y=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\Leftrightarrow -a+4a=1$ (en simplifiant directement par $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$) $\Leftrightarrow a={\frac {1}{3}}$

donc $z_{1}={\frac {1}{3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

Or $y_{1}=\Im \left(z_{1}\right)$.

Donc $y_{1}={\frac {1}{3}}\sin t$ est solution particulière à l'équation complète.

Donc $y=\lambda \cos(2t)+\mu \sin(2t)+{\frac {1}{3}}\sin t,\;(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

 

Résoudre l'équation différentielle $y''+2my'+y=\sin x$ dépendant du paramètre réel $m>0$, avec les conditions initiales $y(0)=y'(0)=0$.

Solution

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+2my'+y=0$.

Équation caractéristique : $r^{2}+2mr+1=0\Leftrightarrow r=-m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ donc

• si $m>1$, $y_{\lambda ,\mu }=\operatorname {e} ^{-mx}\left(\lambda \cosh(x{\sqrt {m^{2}-1}})+\mu \sinh(x{\sqrt {m^{2}-1}})\right)$ ;
• si $m=1$, $y_{\lambda ,\mu }=(\lambda +\mu x)\operatorname {e} ^{-x}$ ;
• si $m<1$, $y_{\lambda ,\mu }=\operatorname {e} ^{-mx}\left(\lambda \cos(x{\sqrt {1-m^{2}}})+\mu \sin(x{\sqrt {1-m^{2}}})\right)$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

Cherchons a priori une solution $y_{0}$ de la forme $A\cos x+B\sin x$.

$\sin x=y_{0}''+2my_{0}'+y_{0}=2my_{0}'=2m(-A\sin x+B\cos x)\Leftrightarrow A=-{\frac {1}{2m}},B=0$.

Finalement, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+y_{\lambda ,\mu }$, les constantes $\lambda ,\mu$ étant déterminées par les conditions initiales :

$0=y(0)=-{\frac {1}{2m}}+\lambda$ et $0=y'(0)=\mu -m\lambda$ donc $\lambda ={\frac {1}{2m}},\mu ={\frac {1}{2}}$.

• Si $m>1$, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-mx}}{2m}}\left(\cosh(x{\sqrt {m^{2}-1}})+m\sinh(x{\sqrt {m^{2}-1}})\right)$ ;
• si $m=1$, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-x}}{2m}}(1+mx)$ ;
• si $m<1$, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-mx}}{2m}}\left(\cos(x{\sqrt {1-m^{2}}})+m\sin(x{\sqrt {1-m^{2}}})\right)$.

 

Soit $m\in \mathbb {R}$. Déterminer la solution $y$ de l'équation différentielle

$(E_{m}):y''-2y'+(1+m^{2})y=(1+4m^{2})\cos(mx)$ vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=0$.

(Indication : on étudiera séparément les cas $m=0$ et $m\neq 0$.)

Solution

L'équation caractéristique est $(r-1)^{2}=-m^{2}$. Il est donc naturel de traiter séparément ces deux cas.

Cas $m=0$. Les solutions de $(E_{0})$ sont $y=1+(\lambda x+\mu )\operatorname {e} ^{x}$. Les conditions initiales se traduisent par $\lambda =\mu =0$ et la solution est donc la fonction constante $y=1$ (ce qui était prévisible !).

Cas $m\neq 0$. Les solutions de l'équation homogène $y''-2y'+(1+m^{2})y=0$ sont $y=\operatorname {e} ^{x}(\lambda \cos(mx)+\mu \sin(mx))$.
Cherchons une solution particulière de $(E_{m})$ de la forme $y=a\cos(mx)+b\sin(mx)$. On doit avoir $(1+4m^{2})\cos(mx)=-m^{2}y-2m\left(-a\sin(mx)+b\cos(mx)\right)+(1+m^{2})y=(a-2mb)\cos(mx)+(b+2ma)\sin(mx)$, c'est-à-dire $a=1$ et $b=-2m$, d'où la solution générale : $y=\cos(mx)-2m\sin(mx)+\operatorname {e} ^{x}(\lambda \cos(mx)+\mu \sin(mx))$.
Les conditions initiales se traduisent alors par $\lambda =0,\;\mu =2m$ et la solution est donc la fonction $y=\cos(mx)+2m\sin(mx)(\operatorname {e} ^{x}-1)$.

 

Exercices plus complexes

Système différentiel

Résoudre les deux systèmes différentiels :

1. $x'=y,\quad y'=x$ ;
2. $x'=y,\quad y'=-x$

avec conditions initiales $\left(x,y\right)_{|t=0}=\left(x_{0},y_{0}\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Pour le second, si $x_{0}=0$ et $y_{0}=1$, quelle est la trajectoire du point $\left(x(t),y(t)\right)$ ?

Solution

1. $x'=y,\quad y'=x\Leftrightarrow x''=x,\quad y=x'\Leftrightarrow x=\lambda \mathrm {e} ^{t}+\mu \mathrm {e} ^{-t},\quad y=\lambda \mathrm {e} ^{t}-\mu \mathrm {e} ^{-t}$, les deux constantes $\lambda ,\mu$ étant déterminées par les conditions initiales : $x_{0}=\lambda +\mu ,\quad y_{0}=\lambda -\mu$, donc $\lambda =\left(x_{0}+y_{0}\right)/2$ et $\mu =\left(x_{0}-y_{0}\right)/2$.
2. $x'=y,\quad y'=-x\Leftrightarrow x''=-x,\quad y=x'\Leftrightarrow x=\lambda \cos t+\mu \sin t,\quad y=-\lambda \sin t+\mu \cos t$, les deux constantes $\lambda ,\mu$ étant déterminées par les conditions initiales : $x_{0}=\lambda ,\quad y_{0}=\mu$.
   Si $x_{0}=0$ et $y_{0}=1$ alors $\left(x(t),y(t)\right)=\left(\sin t,\cos t\right)$ décrit le cercle unité.

 

Résoudre le système différentiel suivant :

$x'=x+y,\;y'=3x-y$ et $x(0)=2,\;y(0)=-2$.

(Indication : on se ramènera à une équation du second ordre en $x$.)

Solution

Le système équivaut à :

$y=x'-x,\;x''-x'=3x-(x'-x)$ et $x(0)=2,\;x'(0)-x(0)=-2$,

ou encore :

$y=x'-x,\;x''=4x$ et $x(0)=2,\;x'(0)=0$.

La solution $x$ est $x(t)=\lambda \operatorname {e} ^{2t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t}$ avec $\lambda +\mu =2,\;2\lambda -2\mu =0$, donc $x(t)=\operatorname {e} ^{2t}+\operatorname {e} ^{-2t}$, et $y(t)=x'(t)-x(t)=\operatorname {e} ^{2t}-3\operatorname {e} ^{-2t}$.

 

Exercice atypique

Résoudre l'équation $(E):f'(x)=1+f(-x)$ avec cet indice : Dériver.

Solution

Si l’on dérive, on ne peut pas procéder par équivalences.

Conditions nécessaires :

En dérivant $(E)$, on obtient $f''(x)=-f'(-x)$

Or $(E):f'(x)=1+f(-x)\Rightarrow f'(-x)=1+f(x)$

Donc $f''(x)=-f'(-x)\Rightarrow f''(x)=-1-f(x)$

$\Rightarrow f''+f=-1$ que l’on résout.

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+1=0\Leftrightarrow r=\pm i$

Donc $y=\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $f''+f=-1$
  

$f=-1$ est solution constante évidente.

Donc $f=\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x-1,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

Conditions suffisantes :

$(E)\Leftrightarrow -\lambda \,\sin x+\mu \,\cos x=1+\lambda \,\cos x-\mu \,\sin x-1$

$\Leftrightarrow \lambda \,(\cos x+\sin x)=\mu \,(\cos x+\sin x)$

$\Leftrightarrow \lambda =\mu$.

Donc $f(x)=\lambda \,(\cos x+\sin x)-1,\,\lambda \in \mathbb {R}$.

 

Résoudre de même : $f'(x)=f(\pi -x)$.

Solution

Si $f'(x)=f(\pi -x)$ alors $f$ est C^∞ et $f''(x)=-f'(\pi -x)=-f(x)$ donc $f(x)=a\cos x+b\sin x$ avec $a,b\in \mathbb {R}$.

Réciproquement, soit $f(x)=a\cos x+b\sin x$. Alors, $f'(x)=f(\pi -x)\Leftrightarrow -a\sin x+b\cos x=-a\cos x+b\sin x\Leftrightarrow b=-a$.

Les solutions sont donc : $f(x)=a(\cos x-\sin x)$.

 

Déterminer toutes les applications dérivables $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ telles que $f'(x)+f(-x)=x\operatorname {e} ^{x}$.

Solution

En cherchant une solution particulière de la forme $f_{0}=u\operatorname {e} ^{x}+v\operatorname {e} ^{-x}$ avec $u'(x)+u(x)+v(-x)=1$ et $v'(x)-v(x)+u(-x)=0$, on trouve $u={x \over 2}$, $v=-{x+1 \over 2}$.

Les solutions sont donc $f=f_{0}+z$ avec $z$ solution de l'équation homogène $z'(x)+z(-x)=0$, qui implique $z''=-z$ donc $z=\lambda \cos x+\mu \sin x$, avec $0=z'(x)+z(-x)=(\lambda +\mu )(\cos x-\sin x)$, donc $\mu =-\lambda$, d'où

$f={x \over 2}e^{x}-{x+1 \over 2}\operatorname {e} ^{-x}+\lambda (\cos x-\sin x)$.

 

Trouver l'ensemble des fonctions $f$ continues sur $\mathbb {R}$ qui vérifient

$f(x)-\int _{0}^{x}(x-t)f(t)\,\mathrm {d} t=x^{2}$.

Solution

${\begin{aligned}f(x)=x^{2}+x\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{0}^{x}tf(t)\,\mathrm {d} t&\Rightarrow f'(x)=2x+\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+xf(x)-xf(x)\\&\Rightarrow f''(x)=2+f(x)\Leftrightarrow (f+2)''=f+2\Leftrightarrow f(x)=-2+\lambda e^{x}+\mu \mathrm {e} ^{-x}.\end{aligned}}$

Réciproquement, pour $f$ de cette forme, la réciproque de la seconde implication équivaut à : $0=f'(0)=\lambda -\mu$, et celle de la première à : $0=f(0)=-2+\lambda +\mu$, donc l'unique solution est $f(x)=-2+\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}$.