Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Exercices no2
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Équation différentielle linéaire du premier ordre
Exo suiv. :Équation différentielle du premier ordre
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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équations sans second membre[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre sur les équations suivantes :

1.

2.

3.

4.

5.

Trouver toutes les fonctions dérivables sur vérifiant : et .

Équations avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

  1. .

Résoudre , pour

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Résoudre , pour

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Considérons l'équation différentielle .

  1. À quelle équation différentielle satisfait la fonction  ? En déduire, sur chacun des intervalles et , les solutions de .
  2. Montrer qu'il existe une fonction et une seule définie sur qui soit solution de (on pourra utiliser un développement de Taylor ou la règle de l'Hôpital).

Avec conditions initiales[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer la solution de vérifiant les conditions initiales données.

  1.  ;
  2.  ;
  3. .
  4. , pour  ;
  5. , pour et , et déterminer .

Problème[modifier | modifier le wikicode]

  1. Résoudre l'équation différentielle :
    .
  2. Déterminer la solution particulière de la variable t vérifiant les conditions et .
  3. Déterminer les réels , et tels que f(t) s'écrive :
    .
  4. Résoudre, dans , l'équation .

Problème avec conditions au bord[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre le problème :

.

Avec des exponentielles[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Avec des sinus et cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Intégrer l'équation .

Résoudre l'équation différentielle dépendant du paramètre réel , avec les conditions initiales .

Soit . Déterminer la solution de l'équation différentielle

vérifiant et .

(Indication : on étudiera séparément les cas et .)

Exercices plus complexes[modifier | modifier le wikicode]

Système différentiel[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre les deux systèmes différentiels :

  1.  ;

avec conditions initiales .

Pour le second, si et , quelle est la trajectoire du point  ?

Résoudre le système différentiel suivant :

et .

(Indication : on se ramènera à une équation du second ordre en .)

Exercice atypique[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre l'équation avec cet indice : Dériver.

Résoudre de même : .