Topologie générale/Équicontinuité
Apparence
Définition de l'équicontinuité
[modifier | modifier le wikicode]Définition
Soient X un espace topologique et E un espace métrique. Un ensemble A d'applications de X dans E est dit :
- équicontinu au point si
- ;
- équicontinu s'il est équicontinu en tout point de X ;
- uniformément équicontinu si de plus X est un espace métrique et
- .
À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : « les fonctions de A sont toutes continues » s'écrit :
- .
Tout dépend de l'ordre des quantificateurs : pour la continuité, δ dépend de ε, de et de . Pour l'équicontinuité, δ dépend seulement de ε et de , alors que l'équicontinuité uniforme, la plus forte, ne fait dépendre δ que de ε.
Théorème d'Ascoli
[modifier | modifier le wikicode]Théorème
Soient K un espace compact, E un espace métrique et C(K, E) l'espace des fonctions continues de K dans E, muni de la distance uniforme.
Une partie A de C(K, E) est relativement compacte (c'est-à-dire incluse dans un compact) si et seulement si, pour tout point x de K :
- A est équicontinue en x ;
- la partie A(x) = {f(x) | f ∈A} de E est relativement compacte.