Monoïde/Composé d'une séquence
Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons pour désigner le composé de et . L'élément neutre sera noté 1.
Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde
[modifier | modifier le wikicode]Définissons récursivement le composé (« produit » dans notre notation) d'un n-uplet d'éléments de E pour tout entier naturel n ou plus généralement, le composé d'une séquence d'éléments de E, c'est-à-dire d'une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné :
- le produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1 ;
- si est le plus grand élément de , .
Pour les n-uplets, cette condition s'écrit :
ou encore :
- .
La « généralisation » des n-uplets aux séquences n'est qu'un artifice de notation — si deux séquences et sont équivalentes (c'est-à-dire s'il existe un isomorphisme d'ensembles ordonnés de sur tel que, pour tout , ) alors leurs composés sont égaux, or toute séquence est canoniquement équivalente à un n-uplet — mais elle aide à formuler le théorème d'associativité suivant[1] :
Soient E un monoïde, A et I deux ensembles finis totalement ordonnés, et une famille de parties de A dont la réunion est A tout entier (on n'exclut pas que certains des ensembles considérés soient vides). On suppose que si i et j sont deux éléments de I tels que i < j, alors a < b pour tout et tout . Pour toute séquence d'éléments de E indexée par A, on a
- .
Un corollaire est que pour tout (n + 1)-uplet d'éléments de E,
- .
Cette formule (2), ou la formule (1) précédente, est couramment présentée — jointe à la définition du produit du 0-uplet comme étant égal à 1 — comme définition de par récurrence sur n. Le corollaire permet de prouver l'équivalence de ces deux définitions, par récurrence sur le nombre de facteurs.
Si le monoïde E est commutatif, on peut définir le composé d'une famille finie d'éléments de E sans préciser un ordre sur l'index de cette famille, car on prouve que le composé, tel que défini ci-dessus, est alors indépendant de l'ordre choisi. Plus généralement, si E est un monoïde non forcément commutatif, si est une famille d'éléments de E dont tous les éléments commutent l'un avec l'autre, le produit des éléments de cette famille ne dépend pas de l'ordre choisi. C'est le « théorème de commutativité »[2]. Ce théorème revient à dire que si est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si est une permutation de l’ensemble , . Plus généralement, si est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si est une bijection d'un ensemble sur ,
Le lemme suivant est utilisé dans le chapitre « Produit direct et somme restreinte » du cours sur les groupes :
Soient M un monoïde et x1, … , xn, y1, … , yn des éléments de M. Si, pour tous indices i > j, xi commute avec yj, alors
Preuve par récurrence sur n. Si n = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à 1, donc la thèse est vraie dans ce cas. Supposons que n soit un nombre naturel > 0 et que la thèse soit vraie pour n – 1 au lieu de n, et prouvons que la thèse est vraie pour n.
Puisque xn commute avec chacun des éléments y1, … , yn-1, nous pouvons remplacer, dans le premier membre de la thèse, xn y1…yn-1 par y1…yn-1 xn, donc
- x1…xn y1…yn = x1…xn-1 y1…yn-1 xn yn.
Par hypothèse de récurrence, nous pouvons remplacer dans le second membre x1…xn-1 y1…yn-1 par x1 y1…xn-1 yn-1, d'où la thèse.
C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x1, … , xn, y1, … , yn commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.
Notes et références
[modifier | modifier le wikicode]- ↑ N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 1, no 3, p. 4, et § 2, no 1, p. 13.
- ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 1, théor. 2, Paris, 1970, p. 8.