Aller au contenu

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Développements limités

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Développements limités
Image logo représentative de la faculté
Exercices no8
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Développements limités

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Calcul de limites
Exo suiv. :Convexité
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Développements limités
Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Développements limités
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Soit .

  1. Montrer, par la formule de Taylor-Lagrange, qu'il existe un nombre tel que .
  2. En utilisant la formule de Taylor-Young en 0 à l'ordre 5 de , montrer que .

Calculer le développement limité de en 0 à l'ordre 3.

Calculer le développement limité de en 0 à l'ordre 9.

Calculer le développement limité de en 0 à l'ordre 5.

Calculer le développement limité de en 0 à l'ordre 2.

Soit admettant en 0 le développement limité suivant à l'ordre 2 :

avec .

Elle admet donc, au voisinage de 0, une fonction réciproque possédant un d.l. à l'ordre 2 en 0 :

.

Déterminer .

Soient et .

Trouver et pour que , et calculer alors le d.l. de (en 0, à l'ordre 5).

Soit

Démontrer que admet à tout ordre un d.l. en 0, que l'on précisera.

Soit .

  1. En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que pour tout ,
    .
  2. En déduire que .

Redémontrer le théorème de Taylor-Young par application itérée de la première règle de l'Hôpital.

Donner les d.l. à l'ordre 3 :

  • en 0 de  ;
  • en 0 de , fois (la k-ième itérée de , à ne pas confondre avec la k-ième puissance, , pour tout ) ;
  • en 0 de , pour un réel fixé ;
  • en 1 de .

Calculer les limites en des trois fonctions suivantes (, ) :

  •  ;
  •  ;
  • .

On donne l'équation de van der Waals

désignent respectivement la pression, la température et le volume occupé par un gaz et sont des constantes.

Quand devient infiniment grand et reste constant, donner un développement limité à l'ordre 2 de en fonction de l'infiniment petit .

Déterminer les asymptotes et les positions par rapport à ces asymptotes des courbes suivantes :

  1.  ;
  2. .

Étudier les fonctions suivantes :

, , .

On pose . En utilisant un d.l. de en 0 à un ordre adéquat, calculer pour tout .

Soient un intervalle ouvert contenant 0 et une fonction définie sur par :

Former le d.l. de en 0 à l'ordre 4.

On définit sur une fonction C : .

À l'aide d'un d.l. de , montrer que admet un prolongement deux fois dérivable en 0.

Déterminer le développement limité à l'ordre 10 en 0 de la fonction définie sur par .

Liens externes

[modifier | modifier le wikicode]