Leçons de niveau 14

Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi uniforme

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Autour de la loi uniforme
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Exercices no4
Leçon : Variables aléatoires discrètes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale
Exo suiv. :Sommaire
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Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi uniforme
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Posons le problème[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de définir une nouvelle loi à partir de la loi uniforme.

Situation initiale[modifier | modifier le wikicode]

Thomas attend devant un ascenseur qui dessert tous les étages entre le -ième et le -ième. Seulement, il n’est pas seul devant. Thomas se pose la question suivante : quelle probabilité ai-je que mon étage soit le premier étage où l'ascenseur s'arrête ?

Formalisation[modifier | modifier le wikicode]

On considérera que , et que

On considérera également qu’il se trouve devant l'ascenseur N personnes avec N > 0.

On notera l'étage choisi par la personne i, et E l’ensemble des étages choisis par les individus .

Je ferai l'abus de notation suivant .

De même, on fera les hypothèses suivantes :

  • une personne choisit aléatoirement et selon une loi uniforme son étage, c'est-à-dire  ;
  • les variables sont indépendantes.

La question devient : , avec .

Questions[modifier | modifier le wikicode]

Les questions suivantes (hors application numérique) sont classées par ordre croissant de difficulté.

  1. Calculer :
  2. Que vaut l’ensemble E lorsque  ? En déduire .
  3. Calculer et en déduire .
  4. Après avoir exprimé en fonction de et , donner sa valeur.
  5. Application numérique : l'ascenseur dessert tous les étages entre le premier et le dixième étage. Il y a dix personnes qui prennent l'ascenseur. Quelle est la probabilité que je sois le premier à descendre alors que je descend au sixième ?

Solutions[modifier | modifier le wikicode]

Question 1[modifier | modifier le wikicode]

Par hypothèse, donc .

Or . Finalement on obtient que : .

Question 2 : cas particulier[modifier | modifier le wikicode]

On a lorsque tous les éléments de E valent b. Or les sont indépendantes, donc la probabilité recherchée vaut : .

Question 3[modifier | modifier le wikicode]

.

Or d’après la question 1, on sait que . On en tire immédiatement la relation :

.

En appliquant le même raisonnement que pour la question 2, on a :

.

Question 4 : cas général[modifier | modifier le wikicode]

L'événement est égal à .

De cette réécriture, on déduit que :

.

La question 3 nous permet de conclure : .

Question 5[modifier | modifier le wikicode]

Il suffit d'appliquer la formule avec :

  • N = 10 ;
  • b = 10 ; a = 1 ;
  • k = 6.
.