Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi uniforme

Posons le problème

Le but de cet exercice est de définir une nouvelle loi à partir de la loi uniforme.

Situation initiale

Thomas attend devant un ascenseur qui dessert tous les étages entre le $a$-ième et le $b$-ième. Seulement, il n’est pas seul devant. Thomas se pose la question suivante : quelle probabilité ai-je que mon étage soit le premier étage où l'ascenseur s'arrête ?

Formalisation

On considérera que $(a,b)\in \mathbb {N} ^{*2}$, et que $0<a\leq b$

On considérera également qu’il se trouve devant l'ascenseur N personnes avec N > 0.

On notera $e_{i}$ l'étage choisi par la personne i, et E l’ensemble des étages choisis par les individus $E=\{e_{1},\cdots ,e_{N}\}$.

Je ferai l'abus de notation suivant $F=\{a,a+1,\cdots ,b-1,b\}=[a,b]$.

De même, on fera les hypothèses suivantes :

• une personne choisit aléatoirement et selon une loi uniforme son étage, c'est-à-dire $e_{i}\sim {\mathcal {U}}([a,b])$ ;
• les variables $e_{i}$ sont indépendantes.

La question devient : $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=k)$, avec $k\in [a,b]$.

Questions

Les questions suivantes (hors application numérique) sont classées par ordre croissant de difficulté.

1. Calculer : $\forall i\in [1,N],\mathbb {P} (e_{i}=k)$
2. Que vaut l’ensemble E lorsque $\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=b$ ? En déduire $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=b)$.
3. Calculer $\mathbb {P} (e_{i}\geq k)$ et en déduire $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k)$.
4. Après avoir exprimé $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=k)$ en fonction de $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k)$ et $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k+1)$, donner sa valeur.
5. Application numérique : l'ascenseur dessert tous les étages entre le premier et le dixième étage. Il y a dix personnes qui prennent l'ascenseur. Quelle est la probabilité que je sois le premier à descendre alors que je descend au sixième ?

Solutions

Question 1

Par hypothèse, $e_{i}\sim {\mathcal {U}}([a,b])$ donc $\forall i\in [1,N]\quad \mathbb {P} (e_{i}=k)={\frac {1}{\operatorname {card} (F)}}$.

Or $\operatorname {card} (F)=1+b-a$. Finalement on obtient que : $\forall k\in [a,b]\quad \mathbb {P} (e_{i}=k)={\frac {1}{1+b-a}}$.

Question 2 : cas particulier

On a $\min(E)=b=\max([a,b])$ lorsque tous les éléments de E valent b. Or les $e_{i}$ sont indépendantes, donc la probabilité recherchée vaut : $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=b)=\mathbb {P} \left(\forall i\in [1,N]\quad e_{i}=b\right)=\prod _{i\in [1,N]}\mathbb {P} (e_{i}=b)={\frac {1}{(1+b-a)^{N}}}$.

Question 3

$\mathbb {P} (e_{i}\geq k)=\sum _{j=k}^{b}\mathbb {P} (e_{i}=j)$.

Or d’après la question 1, on sait que $\mathbb {P} (e_{i}=j)={\frac {1}{1+b-a}}$. On en tire immédiatement la relation :

$\mathbb {P} (e_{i}\geq k)=\sum _{j=k}^{b}{\frac {1}{1+b-a}}={\frac {1+b-k}{1+b-a}}$.

En appliquant le même raisonnement que pour la question 2, on a :

$\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k)=\mathbb {P} (\forall i\in [1,N]\quad e_{i}\geq k)=\prod _{i\in [1,N]}\mathbb {P} (e_{i}\geq k)={\Big (}{\frac {1+b-k}{1+b-a}}{\Big )}^{N}$.

Question 4 : cas général

L'événement $\{\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=k\}$ est égal à $\{\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k\}\setminus \{\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k+1\}$.

De cette réécriture, on déduit que :

$\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=k)=\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k)-\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}\geq k+1)$.

La question 3 nous permet de conclure : $\mathbb {P} (\min(e_{i})_{i\in [1,N]}=k)={\frac {(1+b-k)^{N}-(b-k)^{N}}{(1+b-a)^{N}}}$.

Question 5

Il suffit d'appliquer la formule avec :

• N = 10 ;
• b = 10 ; a = 1 ;
• k = 6.

$\mathbb {P} _{10}(\min(e_{i})_{i\in [1,10]}=6)={\frac {(1+b-k)^{N}-(b-k)^{N}}{(1+b-a)^{N}}}={\frac {5^{10}-4^{10}}{10^{10}}}\approx 8{,}7\times 10^{-4}$.