Leçons de niveau 14

Variables aléatoires continues/Loi normale

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Loi normale
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Chapitre no 3
Leçon : Variables aléatoires continues
Chap. préc. :Loi uniforme
Chap. suiv. :Loi exponentielle
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Présentation[modifier | modifier le wikicode]

La loi normale est la loi de probabilité continue la plus connue. Nous avons amorcé son étude au niveau 13, au chapitre 4 de la leçon sur les lois de probabilité continues.

On la retrouve dans de nombreuses situations concrètes, et aussi dans de nombreux résultats théoriques.

Sa densité de probabilité est la célèbre « courbe en cloche » de Gauss.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La loi normale est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir chap. 1) :



Courbes en cloche[modifier | modifier le wikicode]

Exemples de densités gaussiennes pour différentes valeurs des paramètres.

On observe la forme « en cloche », que l’on peut observer en statistiques quand on construit l'histogramme d'un caractère dépendant d'un grand nombre de données :

  • la taille d'un individu (dépend de la taille de ses parents, de son alimentation, de son mode de vie…) ;
  • la conformité d'une pièce technologique ;
  • etc.

Loi normale centrée réduite[modifier | modifier le wikicode]


Un simple changement de variable dans le calcul de la fonction de répartition montre que :

Moments[modifier | modifier le wikicode]

Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème



Espérance et formule de récurrence[modifier | modifier le wikicode]


Variance et autres moments centrés[modifier | modifier le wikicode]

Si alors . Par conséquent :



Cette valeur est significative : si alors .

Souvent, on normalise le kurtosis d'une loi en lui soustrayant 3.

Table de probabilité[modifier | modifier le wikicode]

Dans les applications calculatoires, on se ramène à la table de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Dans ce tableau, pour , on donne pour .

L'entrée en lignes représente les chiffres des unités et des dixièmes de et l'entrée en colonnes représente le chiffre des centièmes de .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple