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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Variables aléatoires continues : Loi uniforme Variables aléatoires continues/Loi uniforme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La loi uniforme est la loi de probabilité continue la plus simple, définie sur un intervalle borné
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
La loi uniforme est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.
On la définit au moyen d'une densité de probabilité .
Définition
La loi
U
(
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}([0,1])}
loi uniforme standard .
Densités de loi uniforme. La fonction de densité d'une loi uniforme est une fonction-porte, c'est-à-dire qu'elle est constante sur un intervalle fini, et nulle ailleurs.
Fonctions de répartition de lois uniformes.
Proposition
La fonction de répartition d'une loi uniforme
U
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}([a,b])}
F
X
(
x
)
=
{
0
si
x
<
a
x
−
a
b
−
a
si
a
≤
x
<
b
1
si
x
≥
b
.
{\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{si}}\ x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{si}}\ a\leq x<b\\1&{\text{si}}\ x\geq b.\end{cases}}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Début d’un théorème
Théorème
La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire continue
X
{\displaystyle X}
U
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}([a,b])}
M
X
(
t
)
=
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}}
.
Fin du théorème
Démonstration
M
X
(
t
)
=
E
(
e
t
X
)
=
1
b
−
a
∫
a
b
e
t
x
d
x
=
1
b
−
a
[
e
t
x
t
]
a
b
=
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{b-a}}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{tx}}{t}}\right]_{a}^{b}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}}
Démonstration
M
X
(
t
)
=
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
=
1
t
(
b
−
a
)
∑
n
=
0
∞
t
n
(
b
n
−
a
n
)
n
!
=
∑
n
=
1
∞
t
n
−
1
(
b
n
−
a
n
)
n
!
(
b
−
a
)
=
∑
k
=
0
∞
t
k
k
!
×
b
k
+
1
−
a
k
+
1
(
k
+
1
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {1}{t(b-a)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}(b^{n}-a^{n})}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n-1}(b^{n}-a^{n})}{n!(b-a)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\times {\frac {b^{k+1}-a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}}}
donc
E
(
X
k
)
=
M
X
(
k
)
(
0
)
=
b
k
+
1
−
a
k
+
1
(
k
+
1
)
(
b
−
a
)
=
1
k
+
1
∑
i
=
0
k
a
i
b
k
−
i
{\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{k}\right)=M_{X}^{(k)}(0)={\frac {b^{k+1}-a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}
Proposition
L'espérance d'une variable aléatoire continue
X
{\displaystyle X}
U
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}([a,b])}
E
(
X
)
=
a
+
b
2
{\displaystyle \mathbb {E} (X)={\frac {a+b}{2}}}
.
Démonstration
E
(
X
)
=
1
1
+
1
∑
i
=
0
1
a
i
b
1
−
i
=
a
+
b
2
{\displaystyle \mathbb {E} (X)={\frac {1}{1+1}}\sum _{i=0}^{1}a^{i}b^{1-i}={\frac {a+b}{2}}}
Proposition
La variance d'une variable aléatoire continue
X
{\displaystyle X}
U
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}([a,b])}
V
(
X
)
=
(
b
−
a
)
2
12
{\displaystyle \mathrm {V} (X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}
.
Démonstration
E
(
X
2
)
=
1
2
+
1
∑
i
=
0
2
a
i
b
2
−
i
=
a
2
+
a
b
+
b
2
3
{\displaystyle \mathbb {E} (X^{2})={\frac {1}{2+1}}\sum _{i=0}^{2}a^{i}b^{2-i}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}}
d'où :
V
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
a
2
+
a
b
+
b
2
3
−
a
2
+
2
a
b
+
b
2
4
=
(
b
−
a
)
2
12
{\displaystyle \mathrm {V} (X)=\mathbb {E} (X^{2})-\left(\mathbb {E} (X)\right)^{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}
La notion d'uniformité vient du fait que la probabilité qu'une valeur tirée d'une loi uniforme soit dans un certain intervalle (inclus dans l'intervalle
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
h :
P
(
x
≤
X
≤
x
+
h
)
=
∫
x
x
+
h
d
t
b
−
a
=
h
b
−
a
{\displaystyle \mathbb {P} (x\leq X\leq x+h)=\int _{x}^{x+h}{\frac {\mathrm {d} t}{b-a}}={\frac {h}{b-a}}}
.
D'autre part, on peut noter que n’importe quelle valeur comprise entre
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Cette loi de probabilité est fondamentale car grâce à sa simplicité, elle est facilement programmable. De plus, grâce au théorème de la transformée inverse , il est possible de simuler d'autres lois de probabilité à partir d'une simulation de la loi uniforme.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\mathcal {U}}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea57fb136c95b0b65708ee0b957961ead7dcb6c2)
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}1_{[a,b]}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{ si }}a\leq x\leq b\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00572c5ec262680b93c91eae92061828feb35186)
![{\displaystyle {\mathcal {U}}([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8848783322f2c9cbbe8996919e4650686163431)
![{\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{b-a}}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{tx}}{t}}\right]_{a}^{b}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09db35f48de07fbe02a5ee16c1952fe09431c268)
