Leçons de niveau 14

Variables aléatoires continues/Loi uniforme

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Loi uniforme
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Chapitre no 2
Leçon : Variables aléatoires continues
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Variables aléatoires continues/Loi uniforme
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Présentation[modifier | modifier le wikicode]

La loi uniforme est la loi de probabilité continue la plus simple, définie sur un intervalle borné . Elle est utilisée pour modéliser une variable répartie uniformément sur un ensemble borné.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La loi uniforme est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité.







Densité[modifier | modifier le wikicode]

Densités de loi uniforme.

La fonction de densité d'une loi uniforme est une fonction-porte, c'est-à-dire qu'elle est constante sur un intervalle fini, et nulle ailleurs.

Fonction de répartition[modifier | modifier le wikicode]

Fonctions de répartition de lois uniformes.




Elle est donc continue, mais non dérivable en et .

Moments[modifier | modifier le wikicode]

Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème




Espérance[modifier | modifier le wikicode]



Variance et écart-type[modifier | modifier le wikicode]



Pourquoi « uniforme »[modifier | modifier le wikicode]

La notion d'uniformité vient du fait que la probabilité qu'une valeur tirée d'une loi uniforme soit dans un certain intervalle (inclus dans l'intervalle support de la densité) ne dépend pas de la position de l'intervalle, mais uniquement de sa longueur h :

.

D'autre part, on peut noter que n’importe quelle valeur comprise entre et est un mode pour la loi uniforme : aucune valeur de l'intervalle n'a une probabilité supérieure à une autre d'apparaître.

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Cette loi de probabilité est fondamentale car grâce à sa simplicité, elle est facilement programmable. De plus, grâce au théorème de la transformée inverse, il est possible de simuler d'autres lois de probabilité à partir d'une simulation de la loi uniforme.