Leçons de niveau 14

Variables aléatoires continues/Loi exponentielle

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Loi exponentielle
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Chapitre no 4
Leçon : Variables aléatoires continues
Chap. préc. :Loi normale
Chap. suiv. :Loi de Cauchy
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Variables aléatoires continues/Loi exponentielle
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Présentation[modifier | modifier le wikicode]

La loi exponentielle décrit la durée de vie d'un phénomène sans vieillissement (particule radioactive, temps d'attente, ...).

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La loi exponentielle est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).




Densité[modifier | modifier le wikicode]

Densité de probabilité de diverses lois exponentielles.

La fonction de densité d'une loi exponentielle est une exponentielle décroissante, qui tend d'autant plus vite vers 0 que son paramètre est grand.

Fonction de répartition[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Moments[modifier | modifier le wikicode]

Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème





Espérance[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Variance et écart-type[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Absence de mémoire[modifier | modifier le wikicode]

Le fait qu'une durée de vie sans vieillissement (la durée de vie au delà d'un instant T ne dépend pas de T) peut se traduire par :

,

c.-à-d.

,

ou encore, en notant  :

.

On reconnait alors la propriété algébrique des fonctions exponentielles. Ainsi, il existe tel que , et puisque F est croissante, .

On reconnait ainsi la fonction de répartition d'une loi exponentielle. Réciproquement, on retrouve, à partir de la fonction de répartition d'une loi exponentielle, la propriété d'une durée de vie sans vieillissement.

On a ainsi prouvé :