Trigonométrie/Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique

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Cosinus d’un angle orienté

Cosinus dans le cercle trigonométrique

Soient $M$ un point du cercle trigonométrique et $\alpha$ l'angle associé à l'arc $\scriptstyle {\overset {\scriptstyle \curvearrowright }{IM}}$.

• Le cosinus de $\alpha$ est l'abscisse (sur l’axe horizontal) du projeté orthogonal de $M$ sur ce même axe.

On le note $\cos(\alpha )$.

Remarques :

• Avec cette définition, on peut prendre le cosinus d’un angle obtus.
• Avec cette définition, un cosinus peut être négatif.

Valeurs remarquables du cosinus des angles usuels

Par lecture sur le cercle trigonométrique, nous trouvons aisément :

$\displaystyle \cos 0=1,$ et $\cos {\frac {\pi }{2}}=0.$

Nous déterminerons en annexe les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous.

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle \pi$
cos α	$\scriptstyle 1$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle -1$
α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle -\pi$
cos α	$\scriptstyle 1$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle -1$

Sinus d’un angle orienté

Sinus dans le cercle trigonométrique

Soient $M$ un point du cercle trigonométrique et $\alpha$ l'angle associé à l'arc $\scriptstyle {\overset {\scriptstyle \curvearrowright }{IM}}$.

• Le sinus de $\alpha$ est l'ordonnée (sur l’axe vertical) du projeté orthogonal de $M$ sur ce même axe.

On le note $\sin(\alpha )$.

Valeurs remarquables du sinus des angles usuels

Nous déterminerons en annexe les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous.

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle \pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle 1$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$
α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle -\pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle -1$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$

Résumé du sinus et du cosinus des angles usuels sur le cercle trigonométrique