Trigonométrie/Exercices/Simplification d'expressions

Exercice 5-1

Simplifiez :

1°  $\sin 3x\cos 5x-\cos 3x\sin 5x$ ;

2°  $\cos 7x\cos 4x+\sin 7x\sin 4x$.

Solution

1°  $\sin 3x\cos 5x-\cos 3x\sin 5x=\sin(3x-5x)=-\sin 2x$.

2°  $\cos 7x\cos 4x+\sin 7x\sin 4x=\cos(7x-4x)=\cos 3x$.

 

Exercice 5-2

Simplifiez :

1°  ${\frac {\sin 2a}{\sin a}}-{\frac {\cos 2a}{\cos a}}$

2°  ${\frac {\sin 3a}{\sin a}}-{\frac {\cos 3a}{\cos a}}$.

Solution

${\frac {\sin b}{\sin a}}-{\frac {\cos b}{\cos a}}={\frac {\sin b\cos a-\cos b\sin a}{\sin a\cos a}}={\frac {\sin(b-a)}{\sin a\cos a}}$ donc :

1°  ${\frac {\sin 2a}{\sin a}}-{\frac {\cos 2a}{\cos a}}={\frac {1}{\cos a}}$ ;

2°  ${\frac {\sin 3a}{\sin a}}-{\frac {\cos 3a}{\cos a}}=2$.

 

Exercice 5-3

Exprimer l'expression suivante en fonction de $\cos 2x$ et $\sin 2x$ :

$A=\cos ^{2}x-2\sin x\cos x-5\sin ^{2}x$.

Solution

$A={\frac {1+\cos 2x}{2}}-\sin 2x-5{\frac {1-\cos 2x}{2}}=-2+3\cos 2x-\sin 2x$.

 

Exercice 5-4

Simplifier l'expression :

$2(\sin ^{6}x+\cos ^{6}x)-3(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x)$.

Solution

$1=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{3}=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x)=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x$

et

$1=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{2}=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x+2\sin ^{2}x\cos ^{2}x$

donc

$2(\sin ^{6}x+\cos ^{6}x)-3(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x)=2(1-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x)-3(1-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x)=-1$.

 

Exercice 5-5

Montrer que les expressions :

1°  ${\frac {\sin x+\cos x}{3\sin x-2\cos x}}$

2°  ${\frac {\sin x-\cos x}{\sin ^{3}x+2\cos ^{3}x}}$

3°  ${\frac {\sin ^{3}x+\cos x}{\sin x-\cos x}}$

peuvent s'exprimer à l'aide de la seule fonction $\tan x$.

Solution

1°  ${\frac {\sin x+\cos x}{3\sin x-2\cos x}}={\frac {\tan x+1}{3\tan x-2}}$.

2°  ${\frac {\sin x-\cos x}{\sin ^{3}x+2\cos ^{3}x}}=(1+\tan ^{2}x){\frac {\tan x-1}{\tan ^{3}x+2}}$.

3°  ${\frac {\sin ^{3}x+\cos x}{\sin x-\cos x}}={\frac {{\frac {\tan ^{3}x}{1+\tan ^{2}x}}+1}{\tan x-1}}$.

 

Exercice 5-6

Montrer que les expressions :

1°  ${\frac {\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}{\sin ^{4}x-\cos ^{4}x}}$

2°  ${\frac {\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin x-\cos x}}$

3°  ${\frac {\sin ^{2}x+\sin x\cos x}{\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}}$

4°  $\cos ^{2}x-\sin x\cos x$

peuvent s'exprimer à l'aide de la seule fonction $\tan x$.

Solution

1°  ${\frac {\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}{\sin ^{4}x-\cos ^{4}x}}={\frac {\tan ^{4}x+1}{\tan ^{4}x-1}}$.

2°  ${\frac {\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin x-\cos x}}={\frac {\tan ^{3}x-1}{(1+\tan ^{2}x)(\tan x-1)}}$.

3°  ${\frac {\sin ^{2}x+\sin x\cos x}{\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}}={\frac {\tan ^{2}x+\tan x}{\tan ^{2}x-1}}$.

4°  $\cos ^{2}x-\sin x\cos x={\frac {1-\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$.

 

Exercice 5-7

Simplifier les expressions :

1°  ${\frac {\tan a+\tan b}{\cos a+\cos b}}$ ;

2°  $(\sin a+\sin b)^{2}+(\cos a+\cos b)^{2}$ ;

3°  ${\frac {2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}}$ ;

4°  ${\frac {1-\sin x+\cos x}{1+\sin x+\cos x}}$.

Solution

1°  ${\frac {\tan a+\tan b}{\cos a+\cos b}}=\tan a\tan b$.

2°  $(\sin a+\sin b)^{2}+(\cos a+\cos b)^{2}=2+2\cos(a-b)$.

3°  ${\frac {2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}}={\frac {1-\cos a}{1+\cos a}}=\tan ^{2}(a/2)$.

4°  $1+\cos x\pm \sin x=2\cos {\frac {x}{2}}\left(\cos {\frac {x}{2}}\pm \sin {\frac {x}{2}}\right)$ donc (cf. exercice 4-4) ${\frac {1-\sin x+\cos x}{1+\sin x+\cos x}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {x}{2}}\right)$.

 

Exercice 5-8

Simplifier les expressions :

1°  ${\frac {\cos ^{2}a-\cos ^{2}b}{\sin(a+b)}}$ ;

2°  ${\frac {\sin(a-b)}{\sin a\pm \sin b}}$ ;

3°  ${\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{(\cos a+\cos b)^{2}}}$ ;

4°  ${\frac {\sin a-\sin b}{\tan a-\tan b}}$.

Solution

1°  ${\frac {\cos ^{2}a-\cos ^{2}b}{\sin(a+b)}}={\frac {\left(2\cos {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\right)\left(-2\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}\right)}{2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}}=\sin(b-a)$.

2°  ${\frac {\sin(a-b)}{\sin a+\sin b}}={\frac {2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}$ et ${\frac {\sin(a-b)}{\sin a-\sin b}}={\frac {2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}$.

3°  ${\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{(\cos a+\cos b)^{2}}}=\tan {\frac {a+b}{2}}\tan {\frac {a-b}{2}}$.

4°  ${\frac {\sin a-\sin b}{\tan a-\tan b}}={\frac {2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}{2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}}\cos a\cos b={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {a-b}{2}}}}\cos a\cos b$.

 

Exercice 5-9

Simplifier les expressions :

1°  ${\frac {\sin a+\sin 4a+\sin 7a}{\cos a+\cos 4a+\cos 7a}}$ ;

2°  ${\frac {\sin 2a+2\sin 3a+\sin 4a}{\sin 3a+2\sin 4a+\sin 5a}}$.

Solution

1°  ${\frac {\sin a+\sin 4a+\sin 7a}{\cos a+\cos 4a+\cos 7a}}={\frac {\sin 4a+2\sin 4a\cos 3a}{\cos 4a+2\cos 4a\cos 3a}}=\tan 4a$ (voir aussi l'exercice suivant).

2°  ${\frac {\sin 2a+2\sin 3a+\sin 4a}{\sin 3a+2\sin 4a+\sin 5a}}={\frac {2\sin 3a+2\sin 3a\cos a}{2\sin 4a+2\sin 4a\cos a}}={\frac {\sin 3a}{\sin 4a}}$.

 

Exercice 5-10

1°  On considère les expressions :

$S=\sin x+\sin(x+r)+\sin(x+2r)+\cdots +\sin[x+(n-1)r]$

$S'=\cos x+\cos(x+r)+\cos(x+2r)+\cdots +\cos[x+(n-1)r]$

que l'on se propose de simplifier.

a)  À cet effet, on calculera $S\sin {\frac {r}{2}}$ et $S'\sin {\frac {r}{2}}$ et l'on transformera chaque produit partiel en une différence de sinus ou de cosinus.

b)  Étudier le cas où $r={\frac {2\pi }{n}}$

2°  Pour $a$ non multiple de $\pi$, simplifier les expressions :

a)  $\sin a+\sin 2a+\cdots +\sin na$ ;

b)  $1+\cos a+\cos 2a+\cdots +\cos na$ ;

c)  $\sin ^{2}a+\sin ^{2}2a+\cdots +\sin ^{2}na$ ;

d)  $1+\cos ^{2}a+\cos ^{2}2a+\cdots +\cos ^{2}na$.

3°  Pour $na$ non multiple de ${\frac {\pi }{2}}$, simplifier l'expression :

${\frac {\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\cdots +\sin(2n-1)a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cdots +\cos(2n-1)a}}$.

Solution

1°  a)

• La formule $\sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$ donne

  $\sin(x+kr)\sin {\frac {r}{2}}={\frac {\cos(x+(k-{\frac {1}{2}})r)-\cos(x+(k+{\frac {1}{2}})r)}{2}}$

  donc (en sommant de $k=0$ à $k=n-1$ et en remarquant que les termes intermédiaires s'éliminent 2 par 2) :

  $S\sin {\frac {r}{2}}={\frac {\cos(x-{\frac {r}{2}})-\cos(x+(n-{\frac {1}{2}})r)}{2}}$ ;

  puis, la formule $\cos a-\cos b=2\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {b-a}{2}}$ donne

  $S\sin {\frac {r}{2}}=\sin {\frac {2x+(n-1)r}{2}}\sin {\frac {nr}{2}}$.

• De même, la formule $\cos a\sin b={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}$ donne

  $\cos(x+kr)\sin {\frac {r}{2}}={\frac {-\sin(x+(k-{\frac {1}{2}})r)+\sin(x+(k+{\frac {1}{2}})r)}{2}}$

  donc

  $S'\sin {\frac {r}{2}}={\frac {\sin(x+(n-{\frac {1}{2}})r)-\sin(x-{\frac {r}{2}})}{2}}$ ;

  puis, la formule $\sin a-\sin b=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)$ donne

  $S'\sin {\frac {r}{2}}=\cos {\frac {2x+(n-1)r}{2}}\sin {\frac {nr}{2}}$.

• Finalement, on a trouvé

  $S={\frac {\sin {\frac {2x+(n-1)r}{2}}\sin {\frac {nr}{2}}}{\sin {\frac {r}{2}}}}{\text{ et }}S'={\frac {\cos {\frac {2x+(n-1)r}{2}}\sin {\frac {nr}{2}}}{\sin {\frac {r}{2}}}}$,

  sauf bien sûr si $\sin {\frac {r}{2}}=0$, c'est-à-dire $r$ multiple de $2\pi$, auquel cas $S=n\sin x$ et $S'=n\cos x$.

b)  Lorsque $r={\frac {2\pi }{n}}$, $\sin {\frac {nr}{2}}=0$ donc $S=S'=0$.

2°  a)  Dans le cas $x=r=a$, $\sin a+\sin 2a+\cdots +\sin na=S={\frac {\sin {\frac {(n+1)a}{2}}\sin {\frac {na}{2}}}{\sin {\frac {a}{2}}}}$.

b)  Le cas $x=0$ et $r=a$ donne (en remplaçant $n$ par $n+1$ dans $S'$) $1+\cos a+\cos 2a+\cdots +\cos na={\frac {\cos {\frac {na}{2}}\sin {\frac {(n+1)a}{2}}}{\sin {\frac {a}{2}}}}$.

c)  $\sin ^{2}a+\sin ^{2}2a+\cdots +\sin ^{2}na={\frac {1-\cos 2a}{2}}+{\frac {1-\cos 4a}{2}}+\dots +{\frac {1-\cos 2na}{2}}={\frac {n+1}{2}}-{\frac {\cos na\sin(n+1)a}{2\sin a}}$.

d)  $1+\cos ^{2}a+\cos ^{2}2a+\cdots +\cos ^{2}na=1+{\frac {1+\cos 2a}{2}}+{\frac {1+\cos 4a}{2}}+\dots +{\frac {1+\cos 2na}{2}}={\frac {n+1}{2}}+{\frac {\cos na\sin(n+1)a}{2\sin a}}$ (on peut vérifier que c) + d) = n + 1).

3°  La question 1, appliquée à $x=a$ et $r=2a$, donne

${\frac {\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\cdots +\sin(2n-1)a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cdots +\cos(2n-1)a}}={\frac {S}{S'}}=\tan(na)$.