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Trigonométrie/Les formules de trigonométrie

Leçons de niveau 12
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Les formules de trigonométrie
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Chapitre no 11
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Équations et inéquations trigonométriques
Chap. suiv. :Sommaire
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Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 7 (page qu'il serait très pratique d’avoir dans un autre onglet de votre navigateur en parallèle de ce cours). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.

Notre priorité sera, avant tout, de montrer les deux formules concernant et . Toutes les autres en découleront immédiatement.

Les formules d'addition

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Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.

Soient et deux réels. Dans un repère orthonormé , posons et les points du cercle trigonométrique tels que

et .

Soit encore le point du cercle trigonométrique tel que

.

Alors :

Mais dans le repère ,

Or .

Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :

Enfin,

Les autres formules

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En posant , et en n'oubliant pas que , (en divisant les deux membres par ) : , les formules de duplication viennent clairement.

De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de .

Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :

donc

et, par un changement de variable, en posant et ,

La formule se déduit directement de la formule d'addition pour .