Triangles et parallèles/Théorème de Thalès

**Théorème de Thalès**
Leçon : Triangles et parallèles

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Conservation de l'aire
Chap. suiv. :	Sommaire
Exercices :	Théorème de Thalès

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Triangles et parallèles : Théorème de Thalès
Triangles et parallèles/Théorème de Thalès », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sur l'utilité des différents énoncés du théorème de Thalès

Le théorème direct de Thalès sert à calculer des longueurs.
Le théorème réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
La contraposée du théorème sert à démontrer que deux droites sont sécantes.

Le théorème direct de Thalès

Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Configuration « triangle »

Configuration « papillon »

alors il y a proportionnalité dans le tableau :


Petites Longueurs	AD	AE	DE
Grandes Longueurs	AB	AC	BC

Exemple dans la configuration « triangle »

Si AB = 5 cm, AD = 2 cm et AE = 3 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :


Petites Longueurs	AD = 2	AE = 3	DE
Grandes Longueurs	AB = 5	AC = ?	BC

le coefficient de proportionnalité est : ${\frac {5}{2}}=2,5$ donc $AC=AE\times 2,5={3cm}\times 2,5=7,5cm$

Exemple dans la configuration « papillon »

Si AB = 3,5 cm, AD = 2 cm et AE = 2,5 cm. Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :


Petites Longueurs	AD = 2	AE = 2,5	DE
Grandes Longueurs	AB = 3,5	AC = ?	BC

le coefficient de proportionnalité est : ${\frac {3,5}{2}}=1,75$ donc $AC=AE\times 1,75={2,5cm}\times 1,75=4,375cm$

Remarques

Il faut que le point pivot A apparaisse quatre fois dans les deux premières colonnes du tableau.

Nous expliquons en approfondissements pourquoi on déconseille aux élèves de troisième d’utiliser les longueurs BD et EC dans leur tableau de proportionnalité.

On peut énoncer le théorème direct de Thalès avec des rapports de longueurs.

La réciproque du théorème de Thalès

Version « triangle »

Soient les points A,B,C,D,E.

Si les points A, D et B sont alignés dans cet ordre.

Si les points A, E et C sont alignés dans cet ordre.

Si l'égalité des rapports suivants est vraie : ${\frac {AC}{AE}}={\frac {AB}{AD}}$ .

Alors on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, les trois rapports suivants sont égaux : ${\frac {AC}{AE}}={\frac {AB}{AD}}={\frac {BC}{DE}}$ .

Exemple

Si A, D et B sont alignés dans cet ordre.

Si A, E et C sont alignés dans cet ordre.

avec AB = 10 cm, AD = 4 cm, AE = 6 cm et AC = 15 cm.

alors en appliquant cela :

${\frac {AC}{AE}}={\frac {15}{6}}={\frac {5}{2}}=2,5$

${\frac {AB}{AD}}={\frac {10}{4}}={\frac {5}{2}}=2,5$

et d’après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "triangle" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, on a : ${\frac {BC}{DE}}=2,5$

Version « papillon »

Soient les points A,B,C,D,E.

Si les points D, A et B sont alignés dans cet ordre.
Si les points E, A et C sont alignés dans cet ordre.
Si l'égalité des rapports suivants est vraie : ${\frac {AC}{AE}}={\frac {AB}{AD}}$ .

Alors on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, les trois rapports suivants sont égaux : ${\frac {AC}{AE}}={\frac {AB}{AD}}={\frac {BC}{DE}}$ .

Exemple

Si D, A et B sont alignés dans cet ordre.

Si E, A et C sont alignés dans cet ordre.

Avec AB = 7 cm, AD = 4 cm, AE = 5 cm et AC = 8,75 cm.

alors en appliquant cela :

${\frac {AC}{AE}}={\frac {8,75}{5}}=1,75$

${\frac {AB}{AD}}={\frac {7}{4}}=1,75$

et d’après la réciproque du théorème de Thalès, on est dans une configuration "papillon" et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

De plus, on a : ${\frac {BC}{DE}}=1,75$ .

Remarque

L'important ici est que les deux triplets de points soient alignés dans le même ordre. On pourrait donc résumer ces deux versions en une seule. Mais il n'y aurait plus moyen de savoir dans quelle configuration on se trouve.