Leçons de niveau 9

Triangles et parallèles/Exercices/Théorème de Thalès

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Théorème de Thalès
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Exercices no2
Leçon : Triangles et parallèles
Chapitre du cours : Théorème de Thalès

Ces exercices sont de niveau 9.

Exo préc. :Sujet de brevet
Exo suiv. :Sommaire
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Triangles et parallèles/Exercices/Théorème de Thalès
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Exercice[modifier | modifier le wikicode]

NAC est un triangle. On suppose que :

  • (PM) est parallèle à (AC) ; (RS) est parallèle à PM ;
  • P appartient à [AN]; M appartient à [CN]; R appartient à [MC]; S appartient à [PA] ;
  • NM = cm ; NC = 12 cm ; NP = cm.
Schéma

1. Écrire toutes les égalités qui résultent de la propriété des 3 rapport égaux en précisant le triangle concerné.

2. Calculer la longueur PA.

Exercice[modifier | modifier le wikicode]

Démonstration : À un tiers de sa hauteur, une pyramide occupe deux tiers de son volume total[modifier | modifier le wikicode]

Rappel sur le calcul du volume d'une pyramide[modifier | modifier le wikicode]

Le volume d'une pyramide de hauteur , dont la largeur de la base est , est :

L'évolution du volume de la pyramide revient à tronquer celle-ci par une plus petite partant du sommet[modifier | modifier le wikicode]

Partons du schéma ci-dessous

Pyramides 2 in 1.gif

Dans le schéma, le volume de la grande pyramide vaut , et celui de la petite pyramide vaut

La hauteur de la pyramide tronquée peut s'obtenir à partir des hauteurs des deux pyramides par la formule :

On peut alors exprimer le pourcentage d’évolution de la pyramide par :

.

Du coup

Si on fait varier la hauteur de la petite pyramide de cette manière alors varie comme suit et varie comme suit

Application du théorème de Thales à la pyramide[modifier | modifier le wikicode]

On peut appliquer le théorème de Thalès dans le schéma et relier les dimensions des deux pyramides. On obtient :

Thales pyramides.gif

Donc on peut exprimer à partir de et de comme suit ou encore

Le remplissage de la pyramide tronquée est donc

Ce qui donne

Soit encore

L’évolution du remplissage de la pyramide tronquée est égal à

À un tiers de sa hauteur, le volume rempli de la pyramide est donc de : , soit très proche de

Démonstration graphique[modifier | modifier le wikicode]

Si on trace la courbe on peut voir effectivement qu’à un tiers de sa hauteur, il y a deux tiers du volume d'une pyramide

Evolution Volume pyramide pyc.gif