Leçons de niveau 15

Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues

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Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
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Exercices no4
Leçon : Géométrie affine

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Barycentres
Exo suiv. :Espaces affines euclidiens
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Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
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Wikipédia possède un article à propos de « Mesure algébrique ».

Étant donnés trois points alignés tels que , la notation désigne le scalaire tel que .

Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Thales theorem 3.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Thalès ».

Dans un espace affine, on se donne deux droites et et trois hyperplans parallèles distincts intersectant et respectivement en et , en et et en et .

Démontrer que (théorème de Thalès).

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Triangle-menelaos-1.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Ménélaüs ».

Soit dans un plan affine un triangle , et trois points appartenant respectivement aux droites et distincts des sommets .

On veut démontrer que sont alignés si et seulement si

.
  1. On suppose alignés.
    Soient l'homothétie de centre telle que et l'homothétie de centre telle que . On note le rapport de .
    1. Montrer que les deux droites et sont stables par .
    2. En déduire que est une homothétie de centre .
    3. En explicitant et , en déduire la relation .
  2. Réciproquement, on suppose vérifiée.
    1. En remarquant que , montrer que et sont sécantes.
    2. En considérant le point d'intersection de et et les résultats de la première question, montrer que et en déduire que les points sont alignés.

Soient un repère affine de et points quelconques.

  1. On note $ la -ème coordonnée barycentrique de dans . Montrer que est un repère affine de si et seulement si .
  2. Dans le cas particulier , en déduire que est un repère affine de si et seulement si .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

MP-Ceva.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Ceva ».

Soit dans un plan affine un triangle , et trois points appartenant respectivement aux droites et distincts des sommets .

On veut démontrer que les trois droites , et sont parallèles ou concourantes si et seulement si

.
  1. On suppose . En appliquant le théorème de Thalès, montrer que et . En déduire .
  2. On suppose et l'on note le point commun aux trois droites , et .
    1. En appliquant le théorème de Ménélaüs au triangle et à la droite , montrer que .
    2. Montrer qu'on a de même .
    3. En déduire .
  3. Réciproquement, on suppose .
    1. On suppose et sécantes en un point et l'on désigne par le point de concours de et . En appliquant la question 2, montrer que et en déduire que . En déduire que et finalement .
    2. En déduire que si et sont parallèles alors .
  4. (Variante des questions 2 et 3.1). On pose
    .
    1. Soit (avec ) un point quelconque de . On veut trouver à quelle condition (sur ) ce point appartient à la droite .
      a) Déterminer (en fonction de ) les coordonnées barycentriques de dans le repère affine de la droite .
      b) En déduire que si est un barycentre de et alors .
      c) Vérifier la réciproque et conclure.
      d) Énoncer (sans démonstration) la condition analogue pour que appartienne à (resp. ).
    2. On suppose dans cette sous-question que les deux droites et sont sécantes en (avec ). Déduire de la sous-question précédente que si et seulement si .

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

DesarguesThmCollinearity.jpg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Desargues ».

Soient un espace affine, trois droites affines distinctes qui se coupent en un point .

Soient (resp. , resp. ) deux points distincts de (resp. , resp. ).

On suppose que et se coupent en un point , et se coupent en un point , et et se coupent en un point .

  1. Montrer qu'il existe un unique tel que , et .
  2. Montrer que , puis et . Déterminer (en fonction de ) les coordonnées barycentriques de dans le repère affine de la droite affine , puis celles de dans le repère affine et celles de dans le repère affine .
  3. En déduire que sont alignés. (Remarque : c'est une version faible du théorème de Desargues qui, sans supposer a priori concourantes, énonce qu'elles le sont si et seulement si sont alignés).