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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Triangles et parallèles : Théorème des milieux Triangles et parallèles/Théorème des milieux », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Remarque : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.
Début d’un théorème
Théorème
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La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
Fin du théorème
Début de l'exemple
Exemple
Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :
A
B
=
15
cm
;
A
I
=
7
,
5
cm
;
A
C
=
14
cm
;
A
J
=
7
cm
{\displaystyle AB=15{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{,}5{\text{ cm}}\ ;\ AC=14{\text{ cm}}\ ;\ AJ=7{\text{ cm}}}
.
Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles.
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Théorème
La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle parallèlement à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.
Fin du théorème
Début de l'exemple
Exemple
Dans la figure ci-contre, on sait que :
(IJ) et (BC) sont parallèles.
A
B
=
15
cm
;
A
I
=
7
,
5
cm
{\displaystyle AB=15{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{,}5{\text{ cm}}}
.
Démontrer que J est le milieu de [AC].
Solution
On a :
A
B
=
2
×
A
I
{\displaystyle AB=2\times AI}
et
I
∈
[
A
B
]
{\displaystyle I\in [AB]}
donc I est le milieu de [AB] :
(IJ) et (BC) sont parallèles
donc d’après la réciproque du théorème des milieux,
J est le milieu du troisième côté [AC].
Fin de l'exemple
Propriété
Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième côté.
Début de l'exemple
Exemple 1
Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :
A
B
=
15
cm
;
A
I
=
7
,
5
cm
;
A
C
=
14
cm
;
A
J
=
7
cm
;
B
C
=
10
cm
{\displaystyle AB=15{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{,}5{\text{ cm}}\ ;\ AC=14{\text{ cm}}\ ;\ AJ=7{\text{ cm}}\ ;\ BC=10{\text{ cm}}}
.
Combien vaut IJ ? Justifier.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple 2
Dans la figure ci-contre, on sait que :
(IJ) et (BC) sont parallèles.
A
B
=
14
cm
;
A
I
=
7
cm
;
B
C
=
12
cm
{\displaystyle AB=14{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{\text{ cm}}\ ;\ BC=12{\text{ cm}}}
Combien vaut IJ ? Justifier.
Solution
On a :
A
B
=
2
×
A
I
{\displaystyle AB=2\times AI}
et
I
∈
[
A
B
]
{\displaystyle I\in [AB]}
donc
I
{\displaystyle I}
est le milieu de [AB] ;
(IJ) et (BC) sont parallèles
donc d’après la réciproque du théorème des milieux,
J est le milieu du troisième côté [AC].
D’après la propriété métrique des milieux, on a donc :
I
J
=
B
C
2
=
12
2
=
6
cm
{\displaystyle IJ={\frac {BC}{2}}={\frac {12}{2}}=6{\text{ cm}}}
.
Fin de l'exemple