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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Trace et transposée de matrice : Espace euclidien sur un ensemble de matrices Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
On notera
⟨
∣
⟩
{\displaystyle \langle \;\mid \;\rangle }
⟨
∣
⟩
:
(
M
m
,
n
(
R
)
)
2
⟶
R
(
A
,
B
)
⟼
Tr
(
t
A
B
)
=
∑
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
A
i
,
j
B
i
,
j
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \;\mid \;\rangle :\left(\operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\right)^{2}&\longrightarrow \mathbb {R} \\(A,B)&\longmapsto \operatorname {Tr} (^{t}\!AB)=\sum _{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}A_{i,j}B_{i,j}.\end{aligned}}}
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Propriété 10
⟨
∣
⟩
{\displaystyle \langle \;\mid \;\rangle }
produit scalaire sur Mm ,n
Démonstration
On reconnait l'écriture du produit scalaire canonique sur ℝmn m ,n
Ce produit scalaire induit une norme (la norme de Frobenius) : voir Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices (niveau 16).
Nous noterons par la suite, pour toutes matrices A , B , C , D appartenant à Mm ,n
A
B
→
:=
B
−
A
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}:=B-A}
A
B
→
⋅
C
D
→
:=
⟨
A
B
→
∣
C
D
→
⟩
=
⟨
B
−
A
∣
D
−
C
⟩
=
Tr
(
t
(
B
−
A
)
(
D
−
C
)
)
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}:=\langle {\overrightarrow {AB}}\mid {\overrightarrow {CD}}\rangle =\langle B-A\mid D-C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(D-C)\right)}
A
B
:=
A
B
→
⋅
A
B
→
=
⟨
B
−
A
∣
B
−
A
⟩
=
Tr
(
t
(
B
−
A
)
(
B
−
A
)
)
{\displaystyle AB:={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {\langle B-A\mid B-A\rangle }}={\sqrt {\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(B-A)\right)}}}
AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B .
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :
A
→
=
0
A
→
{\displaystyle {\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {0A}}}
On introduit ainsi une géométrie matricielle.
propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à Mm ,n
On a par exemple :
Début d’un théorème
Pour toutes matrices A , B , C appartenant à Mm ,n
A
B
→
⋅
A
C
→
=
0
⇔
B
C
2
=
A
B
2
+
A
C
2
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0\Leftrightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}}
Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Fin du théorème
Propriété 11 (inégalité de Cauchy-Schwarz)
∀
A
,
B
∈
M
m
,
n
(
R
)
T
r
(
t
B
A
)
≤
T
r
(
t
A
A
)
T
r
(
t
B
B
)
{\displaystyle \forall A,B\in \operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\quad \mathrm {Tr} (^{t}\!BA)\leq {\sqrt {\mathrm {Tr} (^{t}\!AA)\mathrm {Tr} (^{t}\!BB)}}}
Propriété 12
∀
A
∈
M
m
,
n
(
R
)
∀
B
∈
M
n
,
p
(
R
)
∀
C
∈
M
m
,
p
(
R
)
⟨
A
B
∣
C
⟩
M
m
,
p
=
⟨
B
∣
(
t
A
)
C
⟩
M
n
,
p
{\displaystyle \forall A\in \operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\quad \forall B\in \operatorname {M} _{n,p}(\mathbb {R} )\quad \forall C\in \operatorname {M} _{m,p}(\mathbb {R} )\quad \langle AB\mid C\rangle _{\operatorname {M} _{m,p}}=\langle B\mid (^{t}\!A)C\rangle _{\operatorname {M} _{n,p}}}
Démonstration
⟨
A
B
∣
C
⟩
=
Tr
(
t
(
A
B
)
C
)
=
Tr
(
t
B
t
A
C
)
=
⟨
B
∣
(
t
A
)
C
⟩
{\displaystyle \langle AB\mid C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}\!(AB)C\right)=\operatorname {Tr} \left(^{t}\!B^{t}\!AC\right)=\langle B\mid (^{t}\!A)C\rangle }
