Trace et transposée de matrice/Propriétés

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Rappelons quelques propriétés de la trace d’une matrice, démontrées dans la leçon sur les matrices figurant dans les prérequis.

Propriété 1

La fonction trace est une forme linéaire sur M_n(K) :

$\mathrm{\forall }A,B\in {\mathrm{M}}_n(K)\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in K\mathrm{Tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathrm{Tr}(A)+\beta \mathrm{Tr}(B)$.

Propriété 2

Une matrice carrée et sa transposée ont même trace :

$\mathrm{Tr}{(}^{\mathrm{t}}A)=\mathrm{Tr}(A)$.

Propriété 3

La trace d'un produit de deux matrices ne dépend pas de l'ordre :

$\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_{m,n}(K)\mathrm{\forall }B\in {\mathrm{M}}_{n,m}(K)\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.

En particulier, $\mathrm{\forall }A,B\in {\mathrm{M}}_n(K)\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$, d'où :

Propriété 4

Deux matrices carrées semblables ont même trace :

$\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_n(K)\mathrm{\forall }P\in {\mathrm{GL}}_n(K)\mathrm{Tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{Tr}(A)$.