Trace et transposée de matrice/Définition de la trace d'une matrice

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Pour faire cette étude, nous nous placerons en dimension finie, la dimension des espaces étant respectivement m et n. Nous savons qu’à tout endomorphisme, dans une base donnée, nous pouvons associer une matrice carrée. Nous commencerons donc par donner la définition de la trace d’une matrice carrée. Ceci fait, nous montrerons par la suite que cette définition ne dépend pas de la base choisie, ce qui permettra de définir la trace d’un endomorphisme.

Soit M une matrice, on notera m_i,j le coefficient de la ligne i colonne j.

Cette notation est utilisée par exemple dans la définition du produit de deux matrices :

$\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\quad \forall B\in \mathrm {M} _{n,p}(K)\quad \forall C\in \mathrm {M} _{m,p}(K)\qquad AB=C\Leftrightarrow \forall i,j\quad c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$.

Définition

Pour toute matrice carrée $A\in \mathrm {M} _{n,n}(K)$, on appelle trace de la matrice A, et l’on note Tr(A), la somme des éléments de la diagonale principale. C’est-à-dire :

$\operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{n}(A)_{k,k}$.