Leçons de niveau 15

Trace et transposée de matrice/Droite de régression de y en x

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Droite de régression de y en x
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Chapitre no 7
Leçon : Trace et transposée de matrice
Chap. préc. :Résolution au mieux d'un système d'équations insoluble
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Calcul de l'équation d'une droite de régression
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Trace et transposée de matrice/Droite de régression de y en x
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Wikipédia possède un article à propos de « Régression linéaire ».

Nous allons voir dans ce chapitre une importante application du chapitre précédent. Nous allons établir les formules permettant de calculer la droite de régression de y en x. Un nuage de points étant donné dans un repère, nous devons calculer l'équation de la droite passant le plus près possible de tous ces points.

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

Nous supposons qu’il existe une loi de proportionnalité (ou approximativement de proportionnalité) entre une variable y et une variable x. Des mesures expérimentales nous donnent un ensemble de couples (x,y) :

Regression lineaire ordonnees.svg

En reportant ces n mesures dans un repère, nous constatons que les points (en rouge sur le dessin) ne sont pas parfaitement alignés, cela étant dû, par exemple, à l'imprécision des mesures.

Nous allons, malgré tout, essayer de trouver une droite (en bleu sur le dessin) d'équation y = ax + b passant le plus près de tous les points.


Pour cela, nous faisons comme si la droite passait parfaitement par tous les points. Nous obtenons le système suivant :

et nous constatons que nous avons un système de n équations à deux inconnues a et b.

Résolution au mieux du système[modifier | modifier le wikicode]

Le système établi précédemment ayant beaucoup plus d'équations que d'inconnues, nous allons essayer de le résoudre « au mieux » comme nous avons appris à le faire dans le chapitre précédent.


Sous forme matricielle, le système précédent s'écrit :

D'après le théorème démontré au chapitre précédent, les nombres a et b qui satisfont au mieux le système précédent sont les racines du système obtenu en multipliant à gauche les deux membres par la transposée de la première matrice ; nous obtenons :

.

En effectuant les produits matriciels, nous obtenons :

.

En traduisant cette dernière relation sous forme de système, nous obtenons :

En éliminant b de la première équation grâce à la deuxième, nous obtenons :

En divisant les deux membres de la première équation par n2 et les deux membres de la deuxième équation par n, nous obtenons :

Compte tenu du rappel précédent, notre système peut s'écrire :

ce qui donne finalement :

Nous avons obtenu le résultat suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème