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Devoir : Constructions de mesures
Théorie de la mesure/Devoir/Constructions de mesures », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
1°) Restriction d'une mesure extérieure en une mesure sur une sous-tribu.
Soient une tribu sur un ensemble , et une « mesure extérieure » sur , c'est-à-dire une application de dans telle que :
- i) ;
- ii) est croissante : ;
- iii) est dénombrablement sous-additive : .
( est donc « presque » une mesure sur ).
a) Montrer que pour tous , .
On pose .
b) Montrer que les tels que appartiennent à .
c) Soient . Montrer que pour tout ,
- .
d) Montrer que est une algèbre sur .
e) Soient , disjoints deux à deux. On pose et .
Pour tout , montrer que (), et en déduire que .
f) En déduire que et que pour tout , .
g) En déduire que est une sous-tribu de et que la restriction de à est une mesure (-additive).
Solution
(Dans tout ce paragraphe on utilisera constamment — implicitement — le fait que est une tribu).
a) Pour , et , (iii) et (i) donnent : .
b) Pour tout on a, d'après (ii) : (), d'où, si : .
c) Remarquons d'abord que vu (a), un élément de appartient à si et seulement si : .
Pour et on a donc :
- puisque , , et
- puisque , .
d) D'après (i) et (b), est non vide.
Vue sa définition, est stable par complémentaire.
Soient , montrons que .
Pour tout on a, d'après (c) : .
Comme , la somme du premier et du troisième terme vaut et celle du deuxième et du quatrième vaut . Comme , la somme des quatre termes est donc égale à , d'où le résultat.
e) Remarquons que pour et disjoints, l'égalité de (c) se simplifie en : .
Ceci permet de montrer par récurrence sur (en utilisant que est l'union disjointe de et de ).
On a donc : . D'après (ii) on en déduit
- ,
et ce pour tout , d'où le résultat.
f) D'après (iii), , d'où (d'après (e))
- , et ce pour tout , donc .
Pour tout , en appliquant (e) à , on trouve aussi que , d'où l'égalité d'après (iii).
g) est une sous-algèbre de stable par réunion dénombrable disjointe, donc une sous-tribu.
Sur , est -additive d'après (f) appliqué à (ou à ).
2°) Un sur les compacts donne un sur les ouverts.
Soient un espace localement compact (c'est-à-dire un espace topologique dans lequel tout point admet un voisinage compact), et l'ensemble de ses compacts. (C'est une généralisation du cas où est l'ensemble des fermés bornés de ). Les propriétés utiles seront, si est un compact de :
- i) pour tout compact , est compact ;
- ii) pour tout ouvert , est compact et est ouvert ;
- iii) de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous-recouvrement fini : si avec ouverts, il existe fini tel que ;
- iv) il existe un ouvert de , contenant , et inclus dans un compact.
Soit , croissante, et telle que
- , et même,
- si alors (en particulier, ).
Pour tout ouvert de on pose : .
Montrer que :
a) et est croissante, à valeurs dans ;
b) si est inclus dans un compact, est fini ;
c) ( ouverts) (indication : pour tout compact on posera et ) ;
d) (pour toute suite d'ouverts ) ;
e) pour tout compact inclus dans , .
Solution
a) Pour , (compact), donc . Si alors , d'où .
De ces deux propriétés on déduit que pour tout ouvert , .
b) Si est inclus dans un compact alors, pour tout compact on a donc , d'où .
c) Soient ouverts de . Soit un compact dans , posons et (compacts d'après (ii)).
De on déduit .
D'autre part, et donc et .
On a donc pour tout compact inclus dans , d'où .
d) On déduit d'abord de (c) (par récurrence) que .
Soient et un compact inclus dans . D'après (iii), il existe un entier tel que , donc tel que . Vue la déduction préliminaire on
obtient donc .
Par conséquent, pour tout compact inclus dans , d'où .
e) Soit un compact inclus dans l'ouvert . Alors est disjoint de donc , et est un compact inclus dans donc . On a donc pour tout compact , d'où le résultat (par définition de ).
3°) Ce sur les ouverts se prolonge en une mesure extérieure, qui donne une mesure sur les boréliens
À partir du de la question 2 on pose, pour toute partie de :
- .
Montrer que :
a) pour tout ouvert , ;
b) sur la tribu , est une mesure extérieure (c'est-à-dire vérifie les hypothèses de
la question 1) ;
c) pour tout compact , ;
d) pour qu'une partie de appartienne à la sous-tribu (définie dans la question 1), il suffit que
pour tout ouvert , ;
e) si est ouvert alors ;
f) contient la tribu des boréliens sur .
Solution
a) est le plus petit ouvert contenant donc (par croissance de ) .
b) En particulier (d'après 2.a) .
Si alors donc : est croissante, donc à valeurs dans puisque .
Il reste à montrer que pour .
Si l'un des est infini, c'est évident. Sinon, soit .
Pour tout , par définition de , il existe un ouvert tel que d'où (en sommant et en appliquant 2.d) :
- , avec .
Mais est un ouvert contenant donc . Par conséquent, , et ce pour tout , donc .
c) Soit un compact. Pour tout ouvert contenant , par définition de . Donc par définition de .
D'autre part, d'après 2.iv et 2.b, il existe un ouvert tel que\break , ce qui revient à dire que .
d) Supposons que pour tout ouvert , . Soit une partie quelconque de . Pour tout ouvert , on en déduit : (d'après 3.a et 3.b), d'où (par définition de ) : .
e) Supposons ouvert. D'après (d) et (a) il suffit de montrer que pour tout ouvert , , autrement dit : que pour tout ouvert et tout compact , . Pour cela il suffit de remarquer que est un ouvert contenant et d'appliquer 2.e.
f) Résulte du fait que est une tribu sur (1.g) contenant les ouverts (3.e).
4°) Régularité de cette mesure.
Par construction (et d'après 3.a), toute partie de est « extérieurement régulière », c'est-à-dire vérifie :
- .
On dira que est de plus « intérieurement régulier » si
- .
Montrer que :
a) tout ouvert est intérieurement régulier ;
b) si et est inclus dans un compact , alors est intérieurement régulier (utiliser
que est extérieurement régulier) ;
c) plus généralement, si et , alors est intérieurement régulier (utiliser (a) et (b)).
Solution
Remarquons que pour tout , par croissance de , on a déjà
- .
est donc intérieurement régulier si et seulement si l'inégalité inverse est vérifiée.
a) D'après 3.a si est ouvert, , et d'après 3.c . (Remarque : cette démonstration ne suppose pas que soit fini).
b) Supposons , compact, et . Par croissance de et d'après 3.c, , donc pour tout il existe un ouvert tel que autrement dit (d'après 1.g et 3.f) tel que . Soit : c'est un compact inclus dans , et donc , donc .
D'où , et ce pour tout , ce qui prouve que .
c) Soit de mesure finie, c'est-à-dire inclus dans un ouvert tel que . Pour montrer que est intérieurement régulier il suffit, comme dans (b), de montrer que pour tout , il existe un compact tel que . Pour cela, on choisit d'abord (en utilisant a) un compact tel que donc (d'après 1.g et 3.f) tel que . Puis (en appliquant (b) à ) on trouve un compact inclus dans (donc dans ) tel que . Mézalor, est inclus dans la réunion de ces deux ensembles de mesure , d'où le résultat.
ÉPILOGUE
Dans ce problème, à partir d'un (vérifiant les hypothèses de la question 2), on a construit un qu'on a étendu en une mesure sur les boréliens de (vérifiant des propriétés supplémentaires). Cette construction classique ( donne ) permet, pour de bons choix de , de démontrer (pour localement compact) :
- sur l'espace des fonctions continues de dans nulles hors d'un compact, toute forme linéaire positive est de la forme pour une certaine mesure (qui dépend bien sûr de ).
C'est le théorème de représentation de Riesz.
Pour cela, on choisit convenablement en fonction de .
- si est muni d'une structure de groupe (non nécessairement commutatif) compatible avec sa topologie, il existe sur une mesure de Haar à gauche (c'est-à-dire non nulle et invariante par les translations à gauche).
Pour cela, on construit un non nul invariant par ces translations.
Sur (ou même ), la mesure de Lebesgue est un cas particulier commun à ces deux applications. (Dans le premier cas, pour l'intégrale de Riemann, dans le second cas, pour la structure de groupe additif usuelle).