« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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+1 : une forme linéaire est continue ssi son noyau est fermé |
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| niveau = 15 |
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== Exercice == |
== Exercice 1-1== |
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<math>\begin{array}{ccccc} |
<math>\begin{array}{ccccc} |
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\varphi&:&E&\rightarrow&\R\\ |
\varphi&:&E&\rightarrow&\R\\ |
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~&~&f&\mapsto& |
~&~&f&\mapsto&\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt. |
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\end{array}</math> |
\end{array}</math> |
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Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et calculer <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|</math>. |
Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et calculer <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|</math>. |
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* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>. |
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>. |
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* Soit <math>f\in E</math>. On a |
* Soit <math>f\in E</math>. On a |
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Ligne 34 : | Ligne 31 : | ||
*:On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n\to+\infty}\ln2</math>. |
*:On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n\to+\infty}\ln2</math>. |
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*:Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln2</math>. |
*:Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln2</math>. |
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== Exercice 1-2== |
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Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel normé et <math>u:E\to K</math> une [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]]. Montrer que <math>u</math> est continue si et seulement si son noyau est fermé. |
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Le singleton <math>\{0\}</math> est fermé dans <math>K</math> donc si <math>u</math> est continue alors <math>\ker u=u^{-1}\left(\{0\}\right)</math> est fermé dans <math>E</math>. |
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Réciproquement, supposons que <math>u</math> n'est pas continue et démontrons que <math>\ker u</math> n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite <math>(x_n)</math> de la boule unité de <math>E</math> telle que <math>\|u(x_n)\|\to+\infty</math>. À partir d'un certain rang <math>N</math>, <math>u(x_n)\ne0</math>, ce qui permet de définir |
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:<math>y_n:=x_N-\frac{u(x_N)}{u(x_n)}x_n</math>. |
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Par construction, la suite <math>(y_n)_{n\ge N}</math> est à valeurs dans <math>\ker u</math> et converge vers <math>x_N\notin\ker u</math>, ce qui conclut. |
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Version du 25 juin 2017 à 21:44
Exercice 1-1
muni de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que et calculer .
Solution
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de .
- Soit . On a
- donc
- donc .
- Conclusion : et .
- On pose pour tout la fonction qui :
- vaut sur ;
- vaut sur ;
- est affine sur .
- On montre que .
- Finalement, .
Exercice 1-2
Soient un -espace vectoriel normé et une forme linéaire. Montrer que est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Solution
Le singleton est fermé dans donc si est continue alors est fermé dans .
Réciproquement, supposons que n'est pas continue et démontrons que n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite de la boule unité de telle que . À partir d'un certain rang , , ce qui permet de définir
- .
Par construction, la suite est à valeurs dans et converge vers , ce qui conclut.