Application linéaire/Exercices/Noyau et image

Soit E un $\mathbb {K}$-espace vectoriel.

Exercice 1

Soient u et v deux endomorphismes de E tels que $v\circ u=0$.

Montrer que $\mathrm {Im} (u)\subset \mathrm {Ker} (v)$.

Solution

$\forall x\in E,~v(u(x))=0\,$ donc $\forall x\in E,~u(x)\in \mathrm {Ker} (v)$

Donc $\{u(x)|x\in E\}\subset \mathrm {Ker} (v)$, c'est-à-dire $\mathrm {Im} (u)\subset \mathrm {Ker} (v)$

 

Exercice 2

Soit u un endomorphisme de E.

1. Montrer que $\mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (u^{2})\Leftrightarrow \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)=\{0\}$

2. Montrer que $\mathrm {Im} (u)=\mathrm {Im} (u^{2})\Leftrightarrow E=\mathrm {Im} (u)+\mathrm {Ker} (u)$

Solution

On suppose que $\mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)=\{0\}$.

• Par définition du noyau, $\forall x\in \mathrm {Ker} (u),~u(x)=0$

Donc, comme $u\in {\mathcal {L}}(E),~\forall x\in \mathrm {Ker} (u),~u(u(x))=0$

On obtient $\color {Red}{\mathrm {Ker} (u)\subset \mathrm {Ker} (u^{2})}$

• Soit $x\in \mathrm {Ker} (u^{2})$.

Par définition du noyau, $u^{2}(x)=u(u(x))=0\,$

On en déduit que $u(x)\in \mathrm {Ker} (u)$ car $u(\color {Blue}{u(x)}\color {Black})=0$

On a de plus $u(\color {Blue}{u(x)}\color {Black})\in \mathrm {Im} (u)$ (car c'est u(quelque chose))

On obtient alors que $u(x)\in \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)$. Or, cet espace est réduit à $\{0\}$, donc $u(x)=0\,$.

La définition du noyau de u permet alors de dire que $x\in \mathrm {Ker} (u)$.

On a alors montré que pour tout $x\in \mathrm {Ker} (u^{2}),~x\in \mathrm {Ker} (u)$, ce qui est bien la définition de $\color {Red}{\mathrm {Ker} (u^{2})\subset \mathrm {Ker} (u)}$.

On a ainsi montré la première implication : $\mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)=\{0\}\Rightarrow \mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (u^{2})$

On suppose maintenant que $\mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (u^{2})\,$

• Soit $x\in \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)$

$x\in \mathrm {Im} (u)$ donc il existe $y\in E,~u(y)=x$ $x\in \mathrm {Ker} (u)$ donc $u(x)=0\,$

Si on met les eux informations bout-à-bout, on arrive à $u(u(y))=0\,$, soit $y\in \mathrm {Ker} (u^{2})$.

Or, $\mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (u^{2})\,$, donc $y\in \mathrm {Ker} (u)$, c'est-à-dire $x=u(y)=0\,$.

On vient de montrer que $\forall x\in \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u),~x=0$, c'est-à-dire $\mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)\subset \{0\}$

L'inclusion inverse est triviale : $\{0\}\subset \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)$.

On a ainsi montré la deuxième implication : $\mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (u^{2})\Rightarrow \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)=\{0\}$

Finalement, on a bien l'équivalence $\mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (u^{2})\Leftrightarrow \mathrm {Ker} (u)\cap \mathrm {Im} (u)=\{0\}$

 

Exercice 3

Soit $(u,v,w)\in {\mathcal {L}}(E)^{3}$ tel que $u\circ v=w~,~v\circ w=u~,~w\circ u=v$.

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Solution

• On suppose $x\in \mathrm {Ker} (u)$. On a alors $v(x)=(w\circ u)(x)=w(u(x))=w(0)=0$. Donc $\mathrm {Ker} (u)\subset \mathrm {Ker} (v)$. De même, on trouve $\mathrm {Ker} (v)\subset \mathrm {Ker} (w)$ et $\mathrm {Ker} (w)\subset \mathrm {Ker} (u)$.

Finalement, on a bien $\mathrm {Ker} (u)=\mathrm {Ker} (v)=\mathrm {Ker} (w)$

• On suppose $y\in \mathrm {Im} (u)$. Il existe $x\in E$ tel que $y=u(x)=(v\circ w)(x)=v(w(x))$. Comme $w(x)\in E$, il vient $\mathrm {Im} (u)\subset \mathrm {Im} (v)$. De même, on trouve $\mathrm {Im} (v)\subset \mathrm {Im} (w)$ et $\mathrm {Im} (w)\subset \mathrm {Im} (u)$.

Finalement, on a bien $\mathrm {Im} (u)=\mathrm {Im} (v)=\mathrm {Im} (w)$