Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien

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Étude des variations

Début d’un théorème

Théorème

La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle $\left]0;+\infty \right[$, sur lequel elle est strictement croissante.

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Variations~de}}~\ln &&\nearrow &\\\end{array}}$

Fin du théorème

Démonstration

• Si x > 0 alors $\ln '(x)={\frac {1}{x}}>0$
• Donc ln est strictement croissante.

 

Courbe représentative

Étude du signe

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&1&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~\ln(x)&&-&0&+&\\\end{array}}$

Démonstration

On déduit du tableau de variations le signe de ln(x) quand x > 0. ln(1) = 0 et ln est strictement croissante donc :

• Si 0 < x < 1 alors ln(x) < 0.
• Si x > 1 alors ln(x) > 0.

 

Étude des limites

Limite en $+\infty$

Comme on sait que ln est croissante.

il suffit de regarder l’évolution de ln sur une suite de valeurs tendant vers $+\infty$,

par exemple la suite géométrique de raison 2 composée des puissances de 2 .

$\ln(2^{n})=n*\ln(2)=n*constante$ tend vers $+\infty$

quand n tend vers $+\infty$.

En conclusion :

$\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$

Limite en $0^{+}$

Comme on sait que ln est croissante,

il suffit de regarder l’évolution de ln sur une suite de valeurs tendant vers $0^{+}$,

par exemple la suite géométrique de raison ${\frac {1}{2}}$

composée des puissances de ${\frac {1}{2}}$ .

$\ln \left({\frac {1}{2^{n}}}\right)=-n\ln(2)$ tend vers $-\infty$ quand n tend vers $+\infty$.

En conclusion :

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$

Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.

Tableau de variations complet de la fonction ln

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~\ln '(x)&&+&\\\hline &&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f&&\nearrow &\\&-\infty &&\end{array}}$

Le nombre e et l’équation ln(x)=1

D’après le tableau de variations, le nombre ln(x) prend toutes les valeurs réelles quand x varie sur $\left]0;+\infty \right[$, chacune exactement 1 fois. On dit que ln est une bijection de $\left]0;+\infty \right[$ sur $\mathbb {R}$.

En particulier :

Début d’un théorème

Théorème

Il existe un unique nombre, noté e (constante de Neper, ou parfois nombre d'Euler) tel que $\ln(e)=1$.

Fin du théorème

Propriété

e est irrationnel, de valeur approchée 2,718.