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**Signe**
Leçon : Généralités sur les fonctions

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Sens de variation
Chap. suiv. :	Sommaire

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Généralités sur les fonctions/Signe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

En mathématiques, nous sommes souvent amenés à résoudre des équations polynomiales du second degré, c'est-à-dire des équations de la forme: $a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$ . On suppose toujours que le nombre a est différent de zéro.

Plusieurs méthodes de résolution s'offrent alors :

On peut chercher une racine évidente du polynôme, afin de factoriser ce polynôme
On peut aussi utiliser le discriminant noté $\Delta$ , avec $\Delta ={b^{2}-4\cdot a\cdot c}$

Lorsque $\Delta >0$ , il y a deux solutions réelles pour cette équation :

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$

$x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$

Lorsque le discriminant est nul, le polynôme admet une racine double: x = -b/(2*a), son signe est alors celui de a, sauf en -b/(2*a) où il est nul. Lorsque le discriminant est strictement négatif, le polynôme n'admet aucune racine réelle, son signe est celui de a sur $\mathbb {R}$ . Dans les cas simples, on étudie le signe d'une fonction à l'aide de ses éventuelles racines et de son sens de variation, comme pour les fonctions affines ou polynomiales.

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Généralités sur les fonctions

Sens de variation

Sommaire

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   | niveau    = 11
 }}
-Étudier le signe d'une fonction <math>f</math> définie sur un intervalle <math>I</math> de <math>\mathbb{R}</math> correspond à déterminer si l'image de <math>x</math> par la fonction <math>f</math> est supérieur, égal ou inférieur à 0. Un tableau de signe, représentant <math>\forall x \in I</math> le signe de <math>f(x)</math> en fonction de <math>x</math>, est nécessaire à cette étude.
+En mathématiques, nous sommes souvent amenés à résoudre des équations polynomiales du second degré, c'est-à-dire des équations de la forme:
-{{Exemple|contenu=
+<math>a\cdot x^2+b\cdot x+c=0</math>. On suppose toujours que le nombre a est différent de zéro.
-Soit la fonction <math>f</math> définie sur <math>\mathbb{R}</math> par <math>f(x)=2x+3</math>.<br/>
-<math>f</math> est une fonction affine, ainsi il n'existe qu'un seul et unique <math>x</math> pour lequel <math>f(x)=0</math>.<br/>
-Déterminons le nombre <math>x</math> tel que <math>f(x)=0</math> :<br/>
-<math>f(x)=0 \Leftrightarrow 2x+3=0 \Leftrightarrow 2x=-3 \Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}</math><br/>
-<math>f(x)=0</math> quand <math>x=\frac{-3}{2}</math><br/>
-Déterminons maintenant le signe de <math>f(x)</math> sur l'intervalle <math>\left] - \infty~;~\frac{-3}{2}\right[</math> et sur l'intervalle <math>\left]\frac{-3}{2}~;+\infty\right[</math> : <br/><br/>
-<math>f</math> est une fonction affine, or son coefficient directeur est positif, ainsi <math>f(x)<0</math> quand <math>x \in \left] - \infty~;~\frac{-3}{2}\right[</math> et <math>f(x)>0</math> quand <math>x \in \left]\frac{-3}{2}~;+\infty\right[</math><br/><br/>
-Établissons maintenant le tableau de signe de <math>f</math> :<br/><br/>
-<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
-x&-\infty&&\frac{-3}{2}&&+\infty\\
-&&&\\
-\hline
-\textrm{Signe~de}~f(x)&-&&0&&+\\
-\hline
-\end{array}
-</math>
-<br/><br/>
-On peut enfin tracer la droite représentative <math>C</math> de la fonction <math>f</math> :
-[[Fichier:Y=2x+3.PNG|200px]]
-}}
+Plusieurs méthodes de résolution s'offrent alors :
-'''Application :''' Dresser le tableau de signe de la fonction <math>f</math> définie dans <math>\mathbb{R}</math> par <math>f(x)=-2x^3-3x^2+5x-12</math>.
+* On peut chercher une racine évidente du polynôme, afin de factoriser ce polynôme
+* On peut aussi utiliser le discriminant noté '''<math>\Delta</math>''' , avec <math>\Delta = {b^2-4\cdot a \cdot c}</math>
+Lorsque <math>\Delta>0</math>, il y a deux solutions réelles pour cette équation :
-{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
-Soit <math>f</math> la fonction définie dans <math>\mathbb{R}</math> par <math>f(x)=-2x^3-3x^2+5x-12</math>.
+<math>x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}</math>
-Factorisons <math>f</math> : <math>f(x)=-2x^3-3x^2+5x-12=(-x-3)(2x^2-3x+4)</math>.
+<math>x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}</math>
-Or,
+Lorsque le discriminant est nul, le polynôme admet une racine double: x = -b/(2*a), son signe est alors celui de a, sauf en -b/(2*a) où il est nul.
-<math>-x-3=0</math> quand <math>x=-3</math>, et l'équation <math>2x^2-3x+4=0</math> n'est pas résoluble dans <math>\mathbb{R}</math>, ainsi l'expression <math>2x^2-3x+4</math> est de signe positif dans <math>\mathbb{R}</math>.
+Lorsque le discriminant est strictement négatif, le polynôme n'admet aucune racine réelle, son signe est celui de a sur <math>\mathbb{R}</math>.
+Dans les cas simples, on étudie le signe d'une fonction à l'aide de ses éventuelles racines et de son sens de variation, comme pour les fonctions affines ou polynomiales.
+{{...}}
-En outre, l'expression <math>-x-3</math> est de signe positif sur <math>\left]-\infty~;~-3\right[</math> et de signe négatif sur <math>\left]-3~;~+\infty\right[</math>
-Ainsi pouvons-nous dresser le tableau de signe de la fonction <math>f</math> :<br/><br/>
-<math>
-\begin{array}{c|ccccccc|}
-x&-\infty&&-3&&+\infty\\
-&&&\\
-\hline
-\textrm{Signe~de}~f(x)&+&&0&&-\\
-\hline
-\end{array}
-</math>
-}}
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   | idfaculté = mathématiques