Généralités sur les fonctions/Signe

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Étudier le signe d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb {R}$ correspond à déterminer si l'image de $x$ par la fonction $f$ est supérieur, égal ou inférieur à 0. Un tableau de signe représentant, $\forall x\in I$, le signe de $f(x)$ en fonction de $x$, est nécessaire à cette étude.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=2x+3$.
$f$ est une fonction affine, ainsi il n'existe qu'un seul et unique $x$ pour lequel $f(x)=0$.
Déterminons le nombre $x$ tel que $f(x)=0$ :
$f(x)=0\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow 2x=-3\Leftrightarrow x={\frac {-3}{2}}$
$f(x)=0$ quand $x={\frac {-3}{2}}$
Déterminons maintenant le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left]-\infty ~;~{\frac {-3}{2}}\right[$ et sur l'intervalle $\left]{\frac {-3}{2}}~;+\infty \right[$ :
$f$ est une fonction affine, or son coefficient directeur est positif, ainsi $f(x)<0$ quand $x\in \left]-\infty ~;~{\frac {-3}{2}}\right[$ et $f(x)>0$ quand $x\in \left]{\frac {-3}{2}}~;+\infty \right[$
Établissons maintenant le tableau de signe de $f$ :
${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&{\frac {-3}{2}}&&+\infty \\&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f(x)&-&&0&&+\\\hline \end{array}}$
On peut enfin tracer la droite représentative $C$ de la fonction $f$ :

Fin de l'exemple

Application : Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ définie dans $\mathbb {R}$ par $f(x)=-2x^{3}-3x^{2}+5x-12$.

Solution

Soit $f$ la fonction définie dans $\mathbb {R}$ par $f(x)=-2x^{3}-3x^{2}+5x-12$.

Factorisons $f$ : $f(x)=-2x^{3}-3x^{2}+5x-12=(-x-3)(2x^{2}-3x+4)$.

Or,

$-x-3=0$ quand $x=-3$, et l'équation $2x^{2}-3x+4=0$ n’est pas résoluble dans $\mathbb {R}$, ainsi l’expression $2x^{2}-3x+4$ est de signe positif dans $\mathbb {R}$.

En outre, l’expression $-x-3$ est de signe positif sur $\left]-\infty ~;~-3\right[$ et de signe négatif sur $\left]-3~;~+\infty \right[$

Ainsi pouvons-nous dresser le tableau de signe de la fonction $f$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-3&&+\infty \\&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f(x)&+&&0&&-\\\hline \end{array}}$