Polynôme/Arithmétique des polynômes

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$\mathbb {K}$ désigne toujours un corps commutatif et $\mathbb {K} [X]$ l'anneau des polynômes à coefficients dans $\mathbb {K}$ . Certaines des propriétés citées ci-dessous ne sont valable que dans le cas ou $\mathbb {K}$ est un corps infini ${\textstyle \mathbb {Q} }$, ${\textstyle \mathbb {R} }$ ou ${\textstyle \mathbb {C} }$.

Division euclidienne et divisibilité dans lK[X]

Début d’un théorème

Théorème et définition : Division euclidienne dans lK[X]

Il existe une unique division euclidienne dans $\mathbb {K} [X]$, c'est-à-dire :

$\forall A,B\in \mathbb {K} [X]\times (\mathbb {K} [X]-\{0\}),\exists !(Q,R)\in (\mathbb {K} [X])^{2},A=BQ+R\mathrm {\;et\;} \deg R<\deg B$

$Q$ est appelée quotient de $A$ par $B$ et $R$ reste.

Fin du théorème

Démonstration

La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. On utilise par la suite, les notations du paragraphe précédent.

Première étape : unicité de la division, c'est-à-dire : « Le couple (Q, R), s'il existe, est unique ».

La démonstration se fonde sur une propriété des degrés, le degré du produit de deux polynômes M et N est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :

${\text{deg }}(M\cdot N)={\text{deg }}M+{\text{deg }}N$

On suppose l'existence de deux couples (Q₁, R₁), (Q₂, R₂) résultat de la division euclidienne de A par B, on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :

$A=BQ_{1}+R_{1},\quad A=BQ_{2}+R_{2}\quad {\text{donc}}\quad (1)\quad B(Q_{1}-Q_{2})+R_{1}-R_{2}=0$

Si la différence entre Q₁ et Q₂ n'était pas nulle, le premier terme de la somme (1) serait au moins de degré de B, noté n. Comme R₁ et R₂ sont de degrés strictement inférieurs à n, le terme de gauche de l'égalité (1) ne pourrait être nulle. On en déduit que Q₁ et Q₂ sont égaux, l'égalité (1) montre alors que R₁ et R₂ sont aussi égaux.

Deuxième étape : existence, c'est-à-dire « Il existe un couple (Q, R) satisfaisant l'identité de la division euclidienne ».

Soient m et n les degrés de A et B. Les polynômes sont notés de la manière suivante :

$A=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{0}\quad {\text{et}}\quad B=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{0}\quad {\text{avec}}\quad a_{m}\neq 0\;{\text{et}}\;b_{n}\neq 0\;$

Soit p = m - n. Si p est strictement négatif, c'est-à-dire si n est strictement plus grand que m, il suffit de prendre Q égal au polynôme constant 0 et R égal à A pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Si p est égal à 0, c'est-à-dire si n est égal à m :

$A={\frac {a_{m}}{b_{m}}}B+R\quad {\text{avec}}\quad R=\left(a_{m-1}-{\frac {a_{m}b_{m-1}}{b_{m}}}\right)X^{m-1}+\cdots +\left(a_{1}-{\frac {a_{m}b_{1}}{b_{m}}}\right)X+\left(a_{0}-{\frac {a_{m}b_{0}}{b_{m}}}\right)\;$

Ce qui démontre la proposition pour p égal à 0. Supposons maintenant la propriété démontrée pour toute valeur inférieure à p - 1 et montrons la pour p. Un calcul analogue au précédent montre l'existence d'un polynôme R₁ tel que :

$(1)\quad A={\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{p}.B+R_{1}\quad {\text{avec}}\quad \deg R_{1}\leq m-1\;$

La différence de degré entre R₁ et B est inférieure ou égal à p - 1, l'hypothèse de récurrence montre l'existence de deux polynômes Q₁ et R tel que :

$(2)\quad R_{1}=Q_{1}.B+R\quad {\text{avec}}\quad \deg R<\deg B\;$

En remplaçant la valeur de R₁calculée dans l'égalité (2) dans l'égalité (1), on obtient :

$A=\left({\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{p}+Q_{1}\right)B+R\quad {\text{ou encore si}}\quad Q={\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{p}+Q_{1},\quad A=B.Q+R\quad {\text{avec}}\quad \deg R<\deg B\;$.

Ce qui établit la proposition.

 

Exemple : Division de $X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+8$ par $X^{2}+3X+1$

• Étape 1 : division de $X^{4}-X^{3}+X^{2}$ par $X^{2}+3X+1$ (quotient $X^{2}$ , reste $-4X^{3}$ )

x4	- x 3	+ x2	- x	+ 8	x2 + 3x + 1
x4	+ 3x3	+ x2			x2
	- 4x3

• Étape 2 : division de -4x³ - x par x² + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x² + 3x)

x4	- x 3	+ x2	- x	+ 8	x2 + 3x + 1
x4	-3x3	+ x2			x2 - 4x
	- 4x3		- x
	-4x3	- 12x2	-4x
		+ 12x2	+ 3x

• Étape 3 : division de 12x² - 3x + 8 par x² + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)

x4	- x 3	+ x2	- x	+ 8	x2 + 3x + 1
x4	+ 3x3	+ x2			x2 - 4x + 12
	- 4x3		- x
	-4x3	- 12x2	-4x
		+ 12x2	+ 3x	+ 8
		12x2	+ 36x	+12
			- 33x	- 4

• Conclusion : x⁴ - x ³ + x² - x + 8 = (x² + 3x + 1)(x² - 4x + 12) - 33x - 4

Définition : Divisiblité

Soient $A$ et $B$ deux polynômes.
On dit que $B$ divise $A$ (ce qu'on note $B|A$ ) s'il existe $P\in \mathbb {K} [X]$ tel que $A=PB$ :

$B|A:\iff \exists P\in \mathbb {K} [X]|A=PB$.

Propriétés

Soient $A,B,C\in \mathbb {K} [X]$ et $\lambda \in \mathbb {K}$ .

• $A|\lambda \iff A\mathrm {\;constant\;}$
• $A|B\mathrm {\;et\;} B|C\Rightarrow A|C$ (Transitivité)
• $A|B\mathrm {\;et\;} A|C\Rightarrow A|BU+CV\;\forall U,V\in \mathbb {K} [X]$
• $\left(A|B\mathrm {\;et\;} B|A\right)\iff \left(\exists \lambda \in \mathbb {K} |A=\lambda B\right)$ .

Les démonstrations se font comme dans $\mathbb {Z}$ (voir le cours d'arithmétique).

PGCD et PPCM

Définitions

Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes

Soient $A,B\in \mathbb {K} [X]$ .

• Un PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de $A$ et $B$ est un polynôme $D$ qui divise $A$ et $B$ et tel que tout diviseur commun à $A$ et $B$ divise $D$ (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
• Un PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de $A$ et $B$ est un polynôme $M$ qui est divisible par $A$ et $B$ et tel que tout multiple commun à $A$ et $B$ soit divisible par $M$ (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .

Remarques :

• $P|Q\iff \operatorname {pgcd} (P;Q)=P\iff \operatorname {ppcm} (P;Q)=Q$ .
  
• On démontre facilement que deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
• Comme dans $\mathbb {Z}$, deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Algorithme d'Euclide

Il est le même que dans $\mathbb {Z}$. On établit le Lemme d'Euclide :

Début d'un lemme

Lemme d'Euclide

Soient $A,B\in \mathbb {K} [X]$. Alors $\forall P,Q\in \mathbb {K} [X]$, si $A=BP+Q$ on a :

$\operatorname {pgcd} (A;B)=\operatorname {pgcd} (B;Q)$.

Fin du lemme

Démonstration

Il faut montrer que l'ensemble ${\mathcal {D}}(A;B)$ des diviseurs communs à $A$ et $B$ est égal à ${\mathcal {D}}(B;Q)$. On raisonne donc par implications successives.

$(\subset )$ : Soit $C\in {\mathcal {D}}(A;B)$.

Alors $C|A\mathrm {\;et\;} C|B\Rightarrow C|Q=A-BP$ d'où l'on tire que $C\in {\mathcal {D}}(B;Q)$.

$(\supset )$ : Soit $C\in {\mathcal {D}}(B;Q)$.

Alors $C|B\mathrm {\;et\;} C|Q\Rightarrow C|A=BP+Q$ d'où l'on tire que $C\in {\mathcal {D}}(A;B)$.

On a bien l'égalité ${\mathcal {D}}(A;B)={\mathcal {D}}(B;Q)$ : si ces ensembles sont égaux, alors leur plus grands éléments aussi, d'où le résultat.

 

On en déduit l'Algorithme d'Euclide :

Soient $(A,B)\in (\mathbb {K} [X])^{2}$ tels que $\deg A>\deg B$

Opération	Reste $R$	Commentaires
on divise $A$ par $B$	$R_{0}$	$\deg 0\leq \deg R_{0}<\deg B{\mbox{ et }}pgcd(A,B)=pgcd(B,R_{0})$
si $R_{0}\neq 0$, on divise $B$ par $R_{0}$	$R_{1}$	$\deg 0\leq \deg R_{1}<\deg R_{0}{\mbox{ et }}pgcd(B,R_{0})=pgcd(R_{0},R_{1})$
…	…	…
si $R_{n}\neq 0$, on divise $R_{n-1}$ par $R_{n}$	$0$	$pgcd(R_{n-1},R_{n})=R_{n}$

Théorèmes d'Arithmétique

Ces Théorèmes se démontrent comme dans $\mathbb {Z}$ .

Début d’un théorème

Théorème de Bézout

• $\forall A,B\in \mathbb {K} [X]\,,\exists U,V\in \mathbb {K} [X]|AU+BV=\operatorname {pgcd} (A,B)$ .
  
• $\operatorname {pgcd} (A;B)=1\iff \left(\exists U,V\in \mathbb {K} [X]|AU+BV=1\right)$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème de Gauss

Soient $A,B,C\in \mathbb {K} [X]$.
Si $A|BC$ et $\operatorname {pgcd} (A;B)=1$ , alors $A|C$ .

Fin du théorème

Polynômes premiers et irréductibles

Définition : Polynômes premiers et irréductibles

Soit $P\in \mathbb {K} [X]$ non constant.

• Le polynôme $P$ est dit irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme $\lambda P(\mathrm {\;avec\;} \lambda \in \mathbb {K} )$.
• Le polynôme $P$ est dit premier si :

$\forall A,B\in \mathbb {K} [X],P|AB\Rightarrow P|A\mathrm {\;ou\;} P|B$.

Début d’un théorème

Théorème

Un polynôme est premier si, et seulement si, il est irréductible.

Fin du théorème

On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans $\mathbb {Z}$ .

On démontre aussi :

Début d’un théorème

Théorème

$\mathbb {K} [X]$ est un anneau factoriel ; cela signifie que, comme dans $\mathbb {Z}$ , tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre des facteurs près.

Fin du théorème

Idéaux de lK[X]

La définition d'un idéal est donnée dans le cours sur les anneaux.

Début d’un théorème

Théorème

$\mathbb {K} [X]$ est un anneau principal, ce qui signifie que tout idéal y est principal : plus précisément, si $I$ est un idéal de $\mathbb {K} [X]$ , alors :

$\exists !P\in \mathbb {K} [X],I=(P)=\{PQ|Q\in \mathbb {K} [X]\}$.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit $I\$ un idéal de $\mathbb {K} [X]$.

Notons $n=min\{deg(P)|P\in I,P\neq 0\}$ (ce minimum existe car l'ensemble $\{deg(P)|P\in I,P\neq 0\}$ est une partie de $\mathbb {N} \$ minorée par 0). Enfin, notons $I_{min}$ un polynôme unitaire appartenant à $I$ tel que $deg(I)=n$.

On a de manière évidente, par définition d'un idéal et comme $I_{min}\in I$, $(I_{min})\subset I$. Réciproquement, soit $Q\in I$, l'existence de la division euclidienne de $Q$ par $I_{min}$, entraîne celle d'un polynôme $R=Q-I_{min}X,X\in \mathbb {K} [X]\$ avec $deg(R)<n$.

Ce polynôme vérifie $R\in I$, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par définition de n, la condition $deg(R)<n$ implique $R=0$ et $deg(R)=-\infty$.

Ainsi: $Q\in (I_{min})$.

D'où l'existence d'un tel polynôme.

S'il y'avait deux polynômes vérifiant le résultat alors ces derniers sont forcément associés. Les polynômes étant choisis unitaires, ils sont donc égaux. D'où l'unicité.

Fin de la démonstration