Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Une suite est une application de de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$.

On la note :
$u:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

$n\mapsto u(n)=u_{n}$

ou encore $(u_{n})_{n\in \mathbb {R} }$ ou simplement $(u_{n})\,$, et on dit que $(u_{n})\,$ est la suite numérique de terme général $u_{n}\,$.

Définition d'une suite

Généralement, une suite $(u_{n})\,$ peut être définie :

• Explicitement
  

Ex : $u_{n}={\frac {3n}{n+1}}\,$

• Par récurrence
  

Ex : $u_{n}=1\,$ et $u_{n+1}={\sqrt {u_{n}}}+2\,$

• Implicitement
  

Ex : $\alpha _{n}\,$ est l'unique solution sur $\left]0;+\infty \right[\,$ de $x^{n}\ln x=2\,$

On peut aussi la citer extensivement sous la forme :
$\{u_{0},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots \}\subset \mathbb {R}$

Monotonie d'une suite

Suite monotone

Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Suite croissante

Définition

Une suite $(u_{n})$ est croissante à partir d'un rang $N\,$ si et seulement si :

$\exists N\in \mathbb {N} \,/\,\forall n\geq N,u_{n+1}\geq u_{n}\,$

Début de l'exemple

Exemple

$u_{n}=n^{2}\,$

Fin de l'exemple

Suite décroissante

Définition

Une suite $(u_{n})$ est décroissante à partir d'un rang $N\,$ si et seulement si :

$\exists N\in \mathbb {N} \,/\,\forall n\geq N,\ u_{n+1}\leq u_{n}$

Début de l'exemple

Exemple

$u_{n}={\frac {1}{n}}\,$

Fin de l'exemple

Application

Pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux :

• d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}\,$

• d'étudier le signe de ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1$

• si la suite est de la forme $u_{n}=f(n)\,$, d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée.

Suite constante

Soit $(u_{n})\,$ une suite numérique de terme général $u_{n}\,$.
On dit que $(u_{n})\,$ est une suite constante si et seulement si :

$\forall n\in \mathbb {R} ,u_{n}=a$

Remarque :
On peut aussi définir une suite constante comme une suite à la fois croissante et décroissante.

Suite stationnaire

Soit $(u_{n})\,$ une suite numérique de terme général $u_{n}\,$.
On dit que $(u_{n})\,$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $N\,$ si et seulement si :

$\exists N\in \mathbb {N} \,\mathrm {et} \,\exists a\in \mathbb {R} \,/\,\forall n>N;u_{n}=a$

Suite bornée

Suite minorée

Une suite $u_{n}$ est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

$\exists A\in \mathbb {R}$ tel que $\forall n\in \mathbb {N} \ u_{n}>A$

Suite majorée

Une suite $u_{n}$ est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

$\exists A\in \mathbb {R}$ tel que $\forall n\in \mathbb {N} \ u_{n}<A$

Suite bornée

Une suite $u_{n}$ est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:

$|u_{n}|<A\,$

Suite extraite

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$
si et seulement si :
$\exists \ \phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ strictement croissante telle que $\forall p\in \mathbb {N} ,v_{p}=u_{\phi (p)}$